Cтраница 1
Теория полей алгебраических чисел очень тесно связанас с классической теорией чисел, в области которой русская, а теперь советская школа занимала и занимает ведущее положение. После переезда в 1922 г. Б. Н. Делоне в Ленинград был опубликован ряд его известных работ по диофантовым уравнениям 3 - й степени, содержавший и ряд геометро-алгебраических идей. [1]
Неприводимые многочлены над полем Q играют особую роль в теории полей алгебраических чисел. Так как умножением на подходящее натуральное число от многочлена из Q [ X ] всегда можно перейти к многочлену из Z [ Jf ], то естественно уточнить сначала связь между свойствами приводимости над Q и над Z. [2]
Неприводимые многочлены над полем Q играют особую роль в теории полей алгебраических чисел. Так как умножением на подходящее натуральное число от многочлена из Q [ X ] всегда можно перейти к многочлену из Z [ X ], то естественно уточнить сначала связь между свойствами приводимости над Q и над Z. [3]
Теория полей и колец первоначально развивалась у нас как теория полей алгебраических чисел. [4]
В нем указывалось на аналогию между задачей погружения в теории Галуа полей алгебраических чисел и задачей классификации эллиптических кривых, определенных над полями алгебраических чисел. Объекты, изучаемые в обеих теориях, обладают локальными инвариантами, связанными с пополнениями поля определения, и основной интерес представляют именно локально тривиальные объекты. В случае эллиптических кривых это приводит к двум конкретным гипотезам: 1) над заданным полем р-адических чисел имеется лишь конечное число бирационально неизоморфных кубических кривых с заданным абсолютным инвариантом и 2) если над полем алгебраических чисел k задана кубическая кривая С, то над k имеется лишь конечное число бирационально неизоморфных кубических кривых, которые над всеми р-адическими пополнениями поля k изоморфны С. [5]
До середины XIX века алгебра чаще всего определялась как наука о решении алгебраических уравнений, Это определение стало явно несправедливым во второй половине XIX века, когда особенной высоты достигли исследования по теории групп, конечных и непрерывных, по теории полей алгебраических чисел и алгебраических функций, по гиперкомплексным числам. Вершиной алгебры в этот период считается теория Галуа, многие проблемы которой, возникшие в эти годы, надолго будут привлекать внимание исследователей. Из них наиболее ортодоксальные алгебраисты будут в течение десятилетий считать классическую проблематику теории Галуа главной Ф алгебре, и к проблемам этой области неизменно будет приписываться слово знаменитая. Тем не менее в соответствии с общим духом времени в начале XX века начинается период перестройки алгебры на теоретико-множественном и аксиоматическом фундаменте. В 20 - х годах все эти новые области алгебры получают даже наименование современной алгебры. Крупнейшей фигурой в этот период был Давид Гильберт ( 1862 - 1943), нашедший правильные пути органического соединения общих теоретико-множественных концепций и классической математики XIX века. [6]
Так, появились теория полей алгебраических чисел и полей алгебраических функций и связанная с ней теория идеалов. [7]
Известно, что среди полей алгебраических функций к полям алгебраических чисел ближе всего стоят те, у которых поле ko конечно. Ввиду этого с точки зрения теории полей алгебраических чисел было бы интересно получить для этого класса полей результат, аналогичный сформулированному выше. Решение, однако, известно только в промежуточном случае, когда поле констант ko алгебраически замкнуто. [8]
Здесь рассмотрен только один круг идей в теории полей алгебраических чисел и собраны примыкающие к этим идеям результаты и проблемы в самой теории алгебраических чисел и в близких к ней областях. [9]
Даже не в очень удаленные от нас времена можно было встретить в некоторых книгах слова алгебра или алгебраический анализ. Одновременно, однако, в недрах тогдашней алгебры и в связи с ее потребностями возникали некоторые новые теории, в математический анализ никак не укладывавшиеся. Именно, в связи с теорией Галуа возникла теория групп, медленно развивающаяся в девятнадцатом веке в виде теории конечных групп подстановок. Во второй половине девятнадцатого века стала разрабатываться примыкавшая к теории чисел теория полей, а именно - теория полей алгебраических чисел. [10]
Даже не в очень удаленные от нас времена можно было встретить в некоторых книгах слова алгебра или алгебраический анализ. Одновременно, однако, в недрах тогдашней алгебры и в связи с ее потребностями возникали некоторые новые теории, в математический анализ никак не укладывавшиеся. Именно, в связи с теорией Галуа возникла теория групп, медленно развивающаяся в девятнадцатом веке в виде теории конечных групп подстановок. Во второй половине девятнадцатого века стала разрабатываться примыкавшая к теории чисел теория полей, а именно - теория полей алгебраических чисел. [11]