Cтраница 1
Теория вещественно замкнутых полей полна. [1]
Докажите, что теория вещественно замкнутых полей ( без отношения порядка) не является подмодельно полной. [2]
Докажите, что теория вещественно замкнутых полей мо дельно полна. [3]
В качестве первой иллюстрации нашего метода доказательства полноты мы проведем доказательство того, что теория вещественно замкнутых полей полна. Нам хотелось бы выделить те места доказательства, где используются методы теории моделей. Поэтому сначала мы приведем чисто алгебраическую лемму; хотя эта лемма представляет собой глубокий результат теории полей, ее доказательство использует стандартные алгебраические методы, лежащие в стороне от основного содержания этой книги. В связи с этим мы опустили это доказательство и просим читателя или принять ее на веру, или найти ее доказательство в какой-нибудь другой книге. [4]
Доказательство теоремы 5.4.12. Доказательство использует предложение 5.4.1 ( i) и протекает параллельно доказательству полноты теории вещественно замкнутых полей. [5]
Полученное только что предложение часто применяется для доказательства модельной полноты конкретных теорий, таких, как теория вещественно замкнутых полей. Приведенное доказательство в действительности дает следующий более сильный результат, который тоже иногда бывает полезен. [6]
Теория, состоящая из аксиом упорядоченного поля ( в том числе аксиом равенства) и этих дополнительных аксиом, называется теорией вещественно замкнутых полей. Покажем, что в любом вещественно замкнутом поле выполнены основные факты о многочленах и их производных. Прежде всего заметим, что в алгебре естественно определять производную многочлена не как предел, а чисто формально: ( ж) па; 1 ( для любого положительного целого п), далее по линейности. Степень производной многочлена на единицу меньше степени самого многочлена. [7]
Аксиома ( 17П) говорит, что всякий многочлен степени п имеет корень. Теория вещественно замкнутых полей имеет в качестве. [8]
Итак, элиминация кванторов дает формулу, равносильную исходной в любом вещественно замкнутом поле. Отсюда, как обычно, следует, что теория вещественно замкнутых полей совпадает с элементарной теорией упорядоченного поля вещественных чисел и потому полна, а также разрешима, и что все вещественно замкнутые упорядоченные поля элементарно эквивалентны. [9]
Предполагая, что условия ( 1) - ( 3) справедливы для всех ординалов р; а, можно легко показать, что они выполняются и для а. В частности, объединение цепи вещественно замкнутых полей будет вещественно замкнутым полем, так как аксиомы теории вещественно замкнутых полей являются Па-предложениями. [10]
В последних двух главах упоминалось большое количество примеров, причем ряд утверждений о них был приведен без доказательств. В этом разделе пять из этих примеров будут рассмотрены довольно детально в свете уже доказанных нами теорем. Большинство остальных примеров может быть исследовано по аналогии с этими пятью. Единственное исключение составляет теория вещественно замкнутых полей, к которой мы вернемся в гл. [11]