Cтраница 1
Теория представлений компактных групп Ли составляет старейшую и наиболее продвинутую часть теории представлений групп Ли. Простейшим примером компактной группы Ли является окружность 51, которая интерпретируется также как одномерный тор ТГ K / Z. Теория представлений группы S1 существует ( под названием рядов Фурье) уже в течение двух столетий. Более общий раздел - коммутативный анализ Фурье - имеет дело с абелевыми группами Ли - прямыми произведениями вида Ж х Т 1 x F, где F - конечная абелева группа. Оставим в стороне эту часть теории, поскольку метод орбит ничего нового здесь не добавляет. [1]
Рассмотрим сначала некоторые примеры из теории представлений компактных групп. [2]
Эта теорема являет собой кульминационный результат теории представлений компактных групп Ли, поскольку дает единую геометрическую конструкцию для всех унитарных неприводимых представлений всех компактных связных групп Ли. Теорема Бореля - Вейля имеет замечательное обобщение, принадлежащее Ботту. Мы покажем, как эти теоремы согласуются с идеологией метода орбит. [3]
Вейля ( 1927), в которой была построена теория представлений компактных групп. В то время, правда, еще не была известна мера Хаара ( открытая в 1933 г.), и результаты Петера-Вейля формулировались для компактных групп Ли. Впоследствии теория меры Хаара позволила развивать гармонический анализ в естественных для него ( и очень широких) пределах локально компактных групп. Важным этапом этого развития послужила пон-трягинская теория двойственности ло / кально компактных коммутативных групп, создание которой по существу и совпадает с выходом на сцену нашего предмета - коммутативного гармонического анализа-в полном объеме. [4]
Выведем из этого результата несколько важных следствий, которые составляют основу теории представлений компактных групп. [5]
Другим удивительным примером использования спектральной теории является установление фундаментальных фактов, в частности касающихся полноты, в теории представлений непрерывных компактных групп. [6]
Все изложенное до сих пор могло бы создать впечатление, что теория представлений классических комплексных групп Ли полностью аналогична теории представлений компактных групп. На самом деле, это далеко не так; теория представлений любой некомпактной группы Ли связана с некоторыми совершенно новыми явлениями. [7]
Другой важный подкласс класса локально компактных групп образуют компактные группы. Актуальным разделом теории представлений компактных групп является группа задач, связанных с вопросами разложения ограничения на иод-группу и тензорного произведения конкретных представлений компактных групп Ли. Разделом теории представлений компактных групп, имеющим многочисленные приложения в алгебре и анализе, является теория конечных групп представлений. [8]
На самом деле ф ( 2ш) эквивалентно представлению ф ( ш) группы SO ( 3) на пространстве однородных гармонических многочленов степени т, но мы на этом не останавливаемся, как и не пытаемся ( хотя это возможно) выбрать в Vn такой базис, чтобы представление ф ( п стало унитарным. Полную и достаточно прозрачную теорию представлений компактных групп, включая SU ( 2) и SO ( 3), обычно развивают в рамках инфини-тезимального метода, опирающегося на соответствие между группами и алгебрами Ли. [9]
Здесь мы применим некоторые результаты из предыдущих параграфов к изучению ряда вопросов гармонического анализа на компактных группах Ли. Мы не имеем возможности дать полное введение в этот предмет, и поэтому читатель, не знакомый с теорией представлений компактных групп Ли, может просто пропустить этот параграф. [10]
Другой важный подкласс класса локально компактных групп образуют компактные группы. Актуальным разделом теории представлений компактных групп является группа задач, связанных с вопросами разложения ограничения на иод-группу и тензорного произведения конкретных представлений компактных групп Ли. Разделом теории представлений компактных групп, имеющим многочисленные приложения в алгебре и анализе, является теория конечных групп представлений. [11]
Доказательство то же самое, но суммирование по элементам группы заменяется интегрированием ( по некоторой мере) на группе. Вспомним, что компактная группа SU ( 2) геометрически не отличима от трехмерной сферы 53, и поэтому имеет смысл говорить, например, о ее объеме. Вообще, существует значительный параллелизм в теории представлений конечных и компактных групп, но мы лишены возможности на этом останавливаться. Из примера б, а) § 1 видно, что представления некомпактных групп ( например, G Z) унитарными быть не обязаны. [12]
Если G - группа Ли, а V - конечномерное пространство над R или С, то непрерывное линейное представление автоматически является вещественно аналитическим. Если G - связная группа Ли, то ее конечномерные представления полностью определяются своими дифференциалами. Ли, к-рая часто формулируется на языке алгебр Ли ( см. Конечномерное представление, Представления классических групп, К ар та на теорема о старшом векторе), теория представлений компактных групп, теория унитарных представлений. [13]
Между ортогональной группой и группой Лоренца имеется топологическое различие, несравненно более резкое, нежели алгебраическое различие в типе квадратичных форм: ортогональная группа принадлежит к числу компактных многообразий, группа Лоренца - не принадлежит. Наиболее разработанным разделом теории групп является теория представлений групп линейными преобразованиями. Представления в гильбертовом конечно - или бесконечномерном пространстве имеют первостепенный интерес для квантовой механики. Если группа конечна, то каждое такое представление распадается на неприводимые части конечной размерности, а вся теория - одно из достославных творений математики - подчиняется соотношениям ортогональности и полноты. Именно они позволяют совершить переход от конечных групп к компактным группам. Теория рядов Фурье есть не что иное, как теория представлений группы вращений окружности. Завороженные красотой и гармонией теории представлений компактных групп, математики на время отошли в сторону от более сложной и менее гармоничной ситуации, с которой им, судя по всему, придется столкнуться при изучении компактных групп. Но группа Лоренца и интерес, проявляемый квантовой механикой к представлениям группы Лоренца в гильбертовом пространстве, возымели свое действие: В. Баргман в Америке, Тельфанд и Наймарк в России мужественно приступили к дерзкой задаче построения теории представлений группы Лоренца в гильбертовом пространстве, а русские математики распространили теорию на произвольные локально ( но не глобально) компактные группы. [14]