Cтраница 1
Теория диофантовых приближений ставит себе задачу систематического изучения различных классов иррациональностей в смысле их арифметической природы. Методом этой теории служит анализ законов приближенного решения уравнений в целых числах. [1]
Для изучения целочисленных решений уравнения ( 1) используется теория диофантовых приближений. То же верно, если рассматривать рациональные решения со знаменателями, делящимися лишь на простые числа из нен-рого фиксированного конечного множества простых чисел. [2]
Клейнбока и Г. А. Маргулиса [12] и другие недавние достижения в теории диофантовых приближений подробно обсуждаются в книге [13], гл. [3]
Это последнее важно для применения полученного выше обобщения основной теоремы Mink owsk oro к теории Диофантовых приближений неоднородных форм. [4]
Свойства типа ( 2), ( 6), ( 7) для векторов Л изучаются в теории диофантовых приближений. Достаточно хорошо изучен двумерный случай. [5]
Из предлагаемого очерка ( далеко, впрочем, не полного) видно, что в своем систематическом развитии теория диофантовых приближений еще очень молода; кардинальные проблемы ждут еще здесь своего разрешения. Методом этой теории предметно должен стать принцип Dirichlet со всеми его расширениями. Этот путь более всех других соответствует характеру изучаемого предмета, и потому в наибольшей возможной мере обещает спаять теорию, до сих пор разрозненную, в единое научное целое. [6]
Автор знаком нашим читателям по переводам его книг Алгебраические числа, Введение в теорию дифференцируемых многообразий, Алгебра, Введение в теорию диофантовых приближений, выпущенных издательством Мир в разные годы. Его новая книга посвящена изложению теории алгебраических кривых и абелевых многообразий как с алгебраической, так и с аналитической точек зрения. Это - мастерски написанное лаконичное введение в предмет; читателю сообщаются действительно самые важные факты. [7]
Важнейшие результаты, касающиеся совместной аппроксимации нескольких чисел ( в частности и простейший закон, указанный нами выше) получаются с помощью так называемого принципа Dirichlet - столь же простого, как и мощного орудия в теории диофантовых приближений, на принципиальную роль которого обратил внимание Minkowski. Этот принцип, как известно, состоит в том, что распределяя п - - предметов на п групп ( среди которых могут быть и пустые), мы можем быть уверены, что по меньшей мере одна из групп будет содержать по меньшей мере два предмета. [8]
Обобщение алгоритма непрерывных дробей развивали многие математики, применявшие его к разнообразным вопросам теории диофантовых приближений, алгебре и др. Решение уравнений степени выше четвертой с помощью эллиптических функций, интегрирование уравнения Ламе с помощью двоякопериодических функций второго рода послужили началом решения как алгебраических, так и дифференциальных уравнений посредством специальных функций. Все это позволяет говорить уже не о школе, а о множестве школ Эрмита. [9]
В теории чисел Чебышев, с одной стороны, впервые после долгого застоя продвинул значительно вперед вопрос о распределении простых чисел в натуральном ряду, а с другой - положил начало постановке и решению неоднородных задач теории диофантовых приближений, в обоих случаях открывая грядущим поколениям такое поле деятельности, которое не исчерпано и до настоящего времени. Работы Че-бышева по теории механизмов до сих пор не утратили своего значения как для теории, так и для практики. [10]
Лебега, оказывается слишком грубой, и тогда применяют более тонкие характеристики, напр, размерности Хаусдорфа. Такой подход оказывается особенно полезным в теории диофантовых приближений и теории трансцендентных чисел. [11]
Проблема о том, каково необходимое и достаточное условие для того, чтобы данное несчетное множество меры нуль было [ / - множеством, не решена до сих пор даже для случая совершенных множеств. Мы здесь изложим основные результаты, полученные при попытке разрешить эту весьма трудную проблему. Интерес этой проблемы станет особенно ясным, когда читатель увидит, что здесь вопросы теории функций оказываются теснейшим образом переплетенными с теорией диофантовых приближений и свойствами целых алгебраических чисел. Не имея возможности полностью изложить здесь все работы, посвященные единственности разложения функции в тригонометрический ряд, мы постараемся осветить основные методы и указать возникающие трудности, а также отметить проблемы, на которые стоит обратить внимание. [12]