Cтраница 1
Теория равномерных пространств обладает разительным сходством с теорией метрических пространств, но область ее применения значительно шире. В частности, каждая топологическая группа обладает тремя естественными равномерностями, которые применяются в теории топологических групп. [1]
Пространство X X X с этой топологией играет важную роль в теории равномерных пространств. [2]
Рассматриваемая здесь операция пополнения ничего общего не имеет с операцией пополнения в теории метрических и равномерных пространств. [3]
Они играют существенную роль в теории размерности, в теории бикомпактных расширений, теории равномерных пространств, теории непрерывных отображений, метризационной проблематике. Измельчаемость множества открытых покрытий означает, говоря неформальным языком, что это множество покрытий своими элементами сколь угодно точно аппроксимирует данное пространство вблизи каждой точки. Часто требование измельчаемо-сти соединяется с ограничениями, обеспечивающими определенные соотношения между покрытиями семейства - типа вписанности, звездной вписанности или направленности. Так, на этом пути получается определение равномерной структуры, совместимой с данной топологией. В связи с теорией паракомпактных пространств рассматриваются И. В теории размерности особое значение имеют направленные отношением вписанности И. [4]
Пространство ( Q, Ж, Р) называется пополнением пространства ( Q, , Р), ( Рассматриваемая здесь операция пополнения ничего общего не имеет с операцией пополнения в теории метрических и равномерных пространств. [5]
Вейлем теории равномерных пространств, в сферу действия которой попадают все тихоновские пространства. [6]
В § 8.1 мы вводим понятия равномерности и равномерного пространства и показываем, как равномерность порождает топологию. Затем определяются два понятия, широко используемые в теории равномерных пространств: равномерные покрытия и равномерные псевдометрики. Из важного результата о том, что для каждой равномерности U существует много псевдометрик, равномерных относительно U, мы выводим, что всякое пространство с топологией, индуцированной некоторой равномерностью, есть тихоновское пространство. Затем мы показываем, что топология любого тихоновского пространства порождена некоторой равномерностью. [7]
Метрические пространства позволяют также ввести понятие равномерно непрерывных отображений. Очевидно, что каждое равномерно непрерывное отображение непрерывно, однако обратное не имеет места. Понятие равномерной непрерывности не является топологическим; оно относится к конкретным метрикам на пространствах X и Y. Понятие равномерной непрерывности относится к теории равномерных пространств, развитой в гл. [8]
Другое, но эквивалентное предыдущему понятие равномерного пространства, определенное в терминах совокупности покрытий ( ср. Книга Исбелла [1964], в которой теория равномерных пространств получила важное развитие, написана В терминах покрытий. [9]
Понятия равномерного пространства и пространства близости можно рассматривать с двух позиций - либо как аксиоматизации некоторых геометрических объектов, близкие к понятию топологического пространства, хотя и совершенно независимые от него, либо как удобные средства изучения топологических пространств. Вейль впервые ввел равномерности, они рассматривались именно как такое средство, пригодное в отличие от метрик для изучения топологических пространств без каких-либо предположений о счетности. Близости также могут быть использованы для изучения топологий; они особенно эффективны при исследовании компактнфикаций. Бурбаки, весьма подробно излагающий в своей книге теорию равномерных пространств, подчеркивает ее независимый характер, хотя она и очень тесно связана с теорией топологических пространств. Связь между этими двумя теориями основана на том, что равномерным пространствам и равномерно непрерывным функциям ставятся в соответствие ( неким стандартным образом) топологические пространства и непрерывные отображения. Этот переход от равномерных пространств к топологическим разбивается на два этапа; промежуточное положение занимают пространства близости. [10]