Cтраница 1
Теория обобщенных решений для уравнений в частных производных была разработана С.Л. Соболевым в 30 - х годах. [1]
Теория обобщенных решений уравнений с частными производными была разработана С. Л. Соболевым в 30 - х годах. Такие решения определяются либо как предел последовательности обычных решений, либо при помощи интегральных тождеств. [2]
Теория обобщенных решений волнового уравнения была изложена С. Л. Соболевым в его работе Общая теория диффракции волн на Римановых поверхностях ( Труды Математического института им. [3]
В работах С. Л. Соболева по теории обобщенных решений в основу положена другая идея, которую можно интерпретировать геометрически. [4]
Одно из направлений в теории обобщенных решений и постановок краевых задач базируется на использовании функциональных пространств Соболева. [5]
В третьем разделе содержится теория обобщенных решений краевых задач дтя линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными эллиптического и параболического типов: вопросы разрешимости, устойчивости решения, разложение по собственным функциям, принцип монотонности для обобщенных решений, теория критических значений и др. Благодаря применению изложенного в предыдущем разделе аппарата обобщены известные ранее результаты. [6]
Мы начнем с изложения известных результатов по теории обобщенных решений, которые необходимы для постановки задачи. [7]
Теоремы о полном наборе изоморфизмов в L2 - теории обобщенных решений граничных задач для одного параболического по И. Г. Петровскому уравнения / / Математический сб. [8]
Этот справочник, созданный в начале сороковых годов ( и с тех пор неоднократно переиздававшийся в ГДР без всяких изменений), несомненно, уже не отражает в полной мере тех достижений, которые имеются сейчас в теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Так, в справочнике не нашла никакого отражения теория обобщенных решений квазилинейных уравнений, развитая в известных работах И. М. Гельфанда, О. А. Олейник и др. Можно привести примеры не вошедших в книгу последних результатов, касающихся непосредственно затронутых в справочнике вопросов. Не освещена в справочнике и теория уравнений Пфаффа. Однако, думается, что и в этом ее виде книга окажется несомненно полезным путеводителем по классической теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. [9]
Однако сразу нужно отметить, что ядра интегральных уравнений теории оболочек не просты и препятствуют получению конечных результатов без заметных усилий. Кроме того, результаты приходится интерпретировать с позиций теории обобщенных решений. [10]
Однако нередко приходится иметь дело с задачами, в которых начальное возмущение задается функциями, не удовлетворяющими этим условиям. Тем не менее разумно считать, что формула ( 17) дает решение задачи, хотя функция и ( х, ( и не всюду имеет непрерывные производные до второго порядка. В этом случае говорят, что задача имеет так называемое обобщенное решение. Теория обобщенных решений будет изложена в четвертом томе. [11]
Формула ( 17) дает, очевидно, дважды непрерывно дифференцируемое решение ( так называемое классическое решение) задачи, если ср ( дг) имеет непрерывные производные р ( дг) и р ( х), а ft ( x) - непрерывную производную PJ ( JC) при - оолг - - о0 - Однако нередко приходится иметь дело с задачами, в которых начальное возмущение задается функциями, не удовлетворяющими этим условиям. Например, если струна в начальный момент имеет форму ломаной линии, то р ( лг) не имеет определенной производной в вершине ломаной. Тем не менее разумно считать, что формула ( 17) дает решение задачи, хотя функция и ( х, t) и не всюду имеет непрерывные производные до второго порядка. В этом случае говорят, что задача имеет так называемое обобщенное решение. Теория обобщенных решений будет изложена в четвертом томе. [12]
Однако нередко приходится иметь дело с задачами, в которых начальное возмущение задается функциями, не удовлетворяющими этим условиям. Например, если струна в начальный момент имеет форму ломаной линии, то р ( лг) не имеет определенной производной в вершине ломаной. Тем не менее разумно считать, что формула ( 17) дает решение задачи, хотя функция и ( х, /) и не всюду имеет непрерывные производные до второго порядка. В этом случае говорят, что задача имеет так называемое обобщенное решение. Теория обобщенных решений будет изложена в четвертом томе. [13]
Как мы покажем, регулярные решения основных граничных задач единственны ( иногда при некоторых дополнительных условиях) и непрерывно зависят от граничных условий. Отметим лишь, что регулярные решения существуют только тогда, когда заданное граничное условие достаточно гладко. Это обстоятельство, практически, не является важным, так как любое граничное условие, имеющее физический смысл, может быть сколь угодно точно приближено достаточно гладкими функциями. Другое решение вопроса о существовании решений дается теорией обобщенных решений. [14]