Cтраница 1
Теория периодических решений Ляпунова - Пуанкаре, как и все почти другие теории качественного направления небесной механики, также со временем получила более общее значение и быстро проникла в другие области, где часто оказывалась даже более полезной и эффективной. [1]
Теории периодических решений - теории колебаний - посвящена обширная литература. [2]
Теорию периодических решений дифференциальных уравнений разрабатывали независимо друг от друга А. Пуанкаре и А. М. Ляпунов - первый специально для задачи трех тел, а второй вообще для задачи о движении какой угодно механической системы. [3]
Настоящая книга посвящена некоторым проблемам теории периодических решений неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими по времени правыми частями. [4]
В качестве второго примера, иллюстрирующего теорию периодических решений, рассмотрим классическое уравнение Ван-дер - Поля, послужившее источником многочисленных работ по теории колебаний. [5]
Математические основы метода малого параметра применительно к теории периодических решений дифференциальных уравнений были заложены в классических сочинениях А. [6]
Основными методами и теориями качественного направления следует - считать метод особых точек, теорию периодических решений и теорию интегральных инвариантов Пуанкаре, а также общую теорию устойчивости движения и теорию периодических решений Ляпунова. [7]
К указанному циклу работ, нашедших частичное отражение в данной главе, непосредственно примыкают некоторые исследования по развитию методов малого параметра в теории периодических решений дифференциальных уравнений Обзор этих работ приведен в гл. [8]
Кроме задачи Хилла, сходимость рядов в которой исследовал А. М. Ляпунов и многочисленные его последователи, часть из которых нами отмечена, советские теоретики рассматривали также и многие другие вопросы теории периодических решений в задачах небесной механики или, вообще, в задачах о движении какой-либо материальной системы с любым числом степеней свободы. [9]
Основными методами и теориями качественного направления следует - считать метод особых точек, теорию периодических решений и теорию интегральных инвариантов Пуанкаре, а также общую теорию устойчивости движения и теорию периодических решений Ляпунова. [10]
Здесь можно использовать все предложения, изложенные в настоящем параграфе. В приложениях к теории периодических решений задача усложняется, так как вращение поля (5.30) с оператором U сдвига по траекториям дифференциальных уравнений нужно уметь вычислять или оценивать но правым частям дифференциальных уравнений. Желательно, чтобы при этом приходилось лишь проверять различные равенства или неравенства, в которые входят правые части дифференциальных уравнений. Соответствующие методы развиваются в последующих параграфах. [11]
Математические основы метода малого параметра применительно к теории периодических решений дифференциальных уравнений были заложены в классических сочинениях А. [12]
В восьмом параграфе не был затронут вопрос об оценках области значений малого параметра е, при которых можно гарантировать существование находимых периодических решений. Не освещен также метод Ляпунова, применяющийся в теории периодических решений. В этом дополнении мы остановимся кратко на этих вопросах. [13]
Пуанкаре, который использовал так называемые секущий отрезок ( поверхность) и функцию последовання ( см. ниже) при исследовании поведения фазовых траекторий иа плоскости [ 551, при изучении разбиения на фазовые траектории тора [55], при рассмотрении задач небесной механики [56] и в менее явном виде - в теории периодических решений, которая после соединения с теорией устойчивости А. М. Ляпунова в работах А. А. Андронова и А. А. Внтта, стала широко известна как метод малого параметра ( см. гл. [14]
Рассматриваются основные направления теории обыкновенных дифференциальных уравнений и практические методы решения таких уравнений. Значительная часть книги содержит стандартный учебный материал по курсу обыкновенных дифференциальных уравнений. Кроме того, рассматриваются матричные дифференциальные уравнения, основы теории устойчивости по Ляпунову, основы теории периодических решений нелинейных уравнений, теория уравнений с разрывной правой частью ( дифференциальные включения) и применение теории групп Ли к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. [15]