Cтраница 1
Теория бесконечных рядов ( сумм) сводится к теории числовых последовательностей с помощью частичных сумм. Пусть f ( л) - некоторая последовательность действительных чисел, a U ( Ь, и) означает отношение: b есть некоторое действительное число, и рациональное число X принадлежит отрезку f () b ( т.е. отношение U порождает функцию f () b) Исходя из этого и пользуясь принципом итерации ( в его третьем расширенном варианте, ср. [1]
Теория бесконечных рядов в отношении к основным понятиям и важнейшим закономерностям математического анализа играет роль такого технического орудия, вспомогательного аппарата; и тем не менее, многочисленными и разнообразными применениями этого аппарата настолько проникнуто все здание как самого анализа, так и большинства опирающихся на его основы прикладных наук, что мы должны приписать учению о бесконечных рядах центральное место в арсенале методов современной математики. Поэтому и ни один курс математического анализа не может обойтись без систематического изложения этого учения. [2]
Основная идея теории бесконечных рядов настолько элементарна, что все непосредственно связанное с нею могло бы быть изложено в нашем курсе значительно раньше, примерно после глав, посвященных пределам и вещественным числам. [3]
Любая задача теории бесконечных рядов может поэтому быть формулирована в терминах последовательностей и их пределов. Но легко видеть, что эта связь теории рядов и теории последовательностей вполне взаимна. [4]
В XVIII веке, когда теория бесконечных рядов еще не была детально изучена, такие ошибки делали и известные математики. Понадобились десятилетия напряженных исследований для того, чтобы точно понять, что такое сумма бесконечного ряда, когда она существует, а когда нет. Впрочем, следует сказать, что в конце XIX века понятие суммы бесконечного ряда было значительно обобщено, и существуют такие определения, при которых формула ( 48) справедлива. Но эти вопросы выходят за рамки нашей книги. [5]
Следующие задачи требуют знания элементов теории бесконечных рядов. [6]
Данные вопросы ( и ответы) напоминают аналогичные из теории бесконечных рядов. Если некоторый ряд меньше чем сходящийся, сходится ли он сам. Имеющиеся факты для рядов хорошо известны и озадачивают. [7]
В предыдущем параграфе, рассматривая интегралы с конечными пределами, зависящие от параметров, мы уже неоднократно указывали на аналогию задач и рассуждений этой области с соответствующей проблематикой теории бесконечных рядов. [8]
Доказательства всех предложений могут быть при этом одинаково легко проведены любым из двух способов: либо мы их строим заново по полной аналогии с соответствующими рассуждениями § 107 ( которые в свою очередь в большинстве случаев проводились по аналогии с теорией бесконечных рядов), либо мы вышеуказанной заменой переменной интеграции просто сводим доказываемое предложение к соответствующей теореме об интегралах с бесконечными пределами и затем ссылаемся на эту теорему. [9]
Этой книгой заканчивается второе издание моей книги Ряды и интегралы Фурье и математическая теория теплопроводности, Fourier s Series and Integrals and the Mathematical Theory of the Conductions of Heat, первое издание которой было опубликовано в 190о г. Первый том нового издания появился в середине этого года и посвящен теории бесконечных рядов и интегралов Фурье. Второй том целиком посвящен математической теории теплопроводности твердых тел. Эта часть книги также написана вновь и значительно расширена. Теперь она включает в себя все важные краевые задачи, связанные с уравнением теплопроводности. Трактовка этих вопросов, в особенности трактовка, изложенная в последних главах, будет полезна интересующимся применением современного анализа к решению диференциальных уравнений математической физики. Основные изменения, произведенные в первых двух главах, связаны с более строгим применением бесконечных рядов и интегралов, входящих в решения задач. Главы III - VI мало отличаются от соответствующих глав первого издания. [10]
Мучимый бедностью и чахоткой, робкий и сдержанный молодой математик завязал лишь немного знакомств. Во время своего путешествия Абель написал несколько работ, в которых изложены его исследования о сходимости рядов, по абелевым интегралам и по эллиптическим функциям. Теоремы Абеля в теории бесконечных рядов показывают, что он мог подвести под эту теорию прочный фундамент. [11]