Cтраница 1
Теория рекуррентных событий содержит дальнейшую информацию относительно цепей Маркова. [1]
Основное уравнение (3.1) теории рекуррентных событий является частным случаем так называемого уравнения восстановления, которое появляется в целом ряде разнообразных задач. Мы покажем, что теоремы предыдущего параграфа применимы без существенных изменений и к этому более общему уравнению. Здесь мы дадим чисто аналитический вывод, вероятностной интерпретации и примерам будет посвящен следующий параграф. [2]
Эти соотношения являются частным случаем основного уравнения теории рекуррентных событий (3.1) гл. [3]
Приведем несколько типичных задач, к которым применима теория рекуррентных событий. [4]
Впервые это было доказано Мизесом, но без теории рекуррентных событий доказательство требует довольно длинных вычислений. В табл. 2 указаны математические ожидания для ряда типичных времен возвращения. [5]
Область применения уравнений свертки, которые служат основой теории рекуррентных событий, значительно шире, чем это могло показаться при чтении предыдущих параграфов. [6]
Основные предельные теоремы для цепей Маркова мы вывели из теории рекуррентных событий. Теперь мы видим, что и, наоборот, рекуррентные события могут рассматриваться как специальные цепи Л аркова. [7]
Таким образом, уравнение восстановления (4.1) формально содержит основное уравнение теории рекуррентных событий как частный случай. [8]
XIII, § 3, мы увидим, что соотношение (4.10) является специальным частным случаем основного уравнения теории рекуррентных событий. [9]
Ясно, что операция, определяемая формулами (1.6), приводит к независимой точной копии начального пространства элементарных событий и что к событию § применима теория рекуррентных событий. Тем не менее поскольку речь идет о событии §, после каждого осуществления § испытания начинаются заново. [10]
При написании книги была проделана серьезная методическая работа. Специалисты найдут много упрощений в существовавших ранее доказательствах ряда теорем, а также обнаружат и новые результаты. В частности, для нужд этой книги была развита теория рекуррентных событий, позволяющая упростить изложение цепей Маркова даже в случае конечного числа состояний. [11]
Автором была предпринята серьезная попытка достичь единства методов. В частности, для нужд этой книги была развита теория рекуррентных событий. Она позволяет по-новому изложить теорию цепей Маркова, что приводит к упрощениям даже в случае конечного числа состояний. [12]
Такой подход способствует упрощению и стандартизации многих исследований. Мы рассмотрим теперь несколько типичных примеров; некоторые из них представляют и самостоятельный интерес. Первые примеры связаны с обычными испытаниями Бернулли, последние три касаются более сложных схем. В их описаниях мы используем такие термины, как продавец и покупатель, но каждый раз приводится математическое определение последовательности случайных величин, которое является полным в том смысле, что оно однозначно определяет вероятности всех возможных событий. Часто оказывается, что теория рекуррентных событий позволяет получать содержательные результаты даже в тех случаях, когда основные вероятности не могут быть вычислены в явном виде. [13]
XI, в которой производящие функции рассматриваются по образцу более общих преобразований. XI должны следовать какие-либо приложения из гл. Главы, посвященные каждому из этих направлений, почти независимы одна от другой. Хотя теория цепей Маркова ( гл. XV) опирается на понятия и факты теории рекуррентных событий, но ее можно изучать и независимо, если читатель пожелает принять без доказательства основную эрго-дическую теорему. [14]
Грубо говоря, событие 1 пригодно для последующей теории, если после каждого его осуществления все начинается сначала в том смысле, что испытания, проведенные после наступления S, являются точной копией эксперимента в целом. Времена ожиданий между последовательными появлениями являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами. Рассмотрим простейший частный случай. Пусть в последовательности испытаний Бернулли i означает успех. Время ожидания первого успеха имеет геометрическое распределение; после первого успеха испытания начинаются заново, и число испытаний между r - м и ( r - f - 1) - м успехами имеет то же самое геометрическое распределение. Пусть люди выбираются по одному и пусть % означает два человека в выборке имеют общий день рождения. В этом случае событие Ъ не возвращает нас к начальному положению. Выбор можно продолжать до тех пор, пока не найдется еще одна пара людей с общим днем рождения, но эта вторая фаза эксперимента не является точной копией начальной фазы. Чем больше выборка, тем больше вероятность совпадения дня рождения, поэтому продолжительное ожидание первого осуществления & увеличивает шансы на то, что интервал между первым и вторым наступлениями будет мал. Два последовательных времени ожидания не только имеют различные распределения, но и являются зависимыми случайными величинами. Такие времена ожидания в теории рекуррентных событий не рассматриваются. [15]