Cтраница 1
Классическая теория множеств базируется на двузначной логике. [1]
Классическая теория множеств, подобно классической геометрии, была сформулирована древними греками и также восходит к Платону. [2]
В классической теории множеств не подразумевается упорядоченности элементов множества, а дубликаты не имеют смысла; кроме того, условие принадлежности не зависит от представления элементов множества. В настоящей книге теория множеств применяется неформальным образом, а ряд теоретических результатов не используется. [3]
Нечеткая логика предполагает отказ от основного утверждения классической теории множеств о том, что некоторый элемент может либо принадлежать либо не принадлежать множеству. Такой подход дает возможность неоднозначности интерпретации знаний обучаемого и относительно более точного выбора управления для достижения цели обучения при меньших затратах времени. [4]
Далее, в снязи с обнаружением известных парадоксов классической теории множеств, связанных с рассмотрением, например, множества всех множеств, возникла необходимость строить теорию множеств па аксиоматических началах. В этой аксиоматике проводится строгое различие между классом и множеством, а именно: множество - это такой класс, который может служить элементом некоторого другого класса. Таким образом, мы будем считать, что каждое множество является классом, тогда как существуют классы, называемые собственными классами, которые не могут служить элементами какого-либо другого класса и поэтому но нв. [5]
В 1975 г. Дьяконеску [1] показал, что присоединение к интуиционистской модели теории множеств аксиомы выбора приводит к классической теории множеств. Отсюда следует, что закон исключенного третьего вытекает из аксиомы выбора. Более простое и прямое доказательство того же результата предложили Гудман и Майхплл [1] в 1978 г. Однако, насколько нам известно, этот фундаментальный, по нашему мнению, результат еще не обсуждался. Именно поэтому мы формулируем его в качестве рабочей гипотезы. [6]
Заканчивая обзор работ по теории проективных множеств, необходимо отметить, что в этой области работами советских ученых, в первую очередь Л у зи н а [25], выделена группа проблем, которые не только не решены, но относительно которых у всех работающих в этом направлении создается убеждение, что решение их средствами современной математики в духе классической теории множеств невозможно. Наиболее известные из этих проблем следующие: проблема мощности СА-множеств и проблема измеримости проективных множеств. Все более укрепляется убеждение в том, что рассмотрение этих проблем настойчиво требует методов математической логики. [7]
Таким образом, граница между двумя множествами А и В является размытой или нечеткой, и переход элементов из одного множества в другое происходит плавно, без скачков. В классической теории множеств этот переход осуществляется скачкообразно и оба множества имеют четкую границу между собой. В табл. 1.1 представлено сопоставление характеристической функции ЛА ( л:) теории четких множеств с функцией принадлежности цл ( д:) теории нечетких множеств. [8]
Диапазон этого поиска был необычайно широк: от нестандартного анализа до ультраинтуиционизма А. С. Есенина-Вольпина, от теории множеств NF Куайна до метода форсинга в классической теории множеств ZF. Уникально было то, что за первые восемь лет своей деятельности он ни разу не повторил даже тематики своего специального курса, находя каждый год новые направления, в которые он углублялся в ходе чтения курса вместе со своими слушателями. И многие из слушателей его первых курсов так на всю свою научную жизнь и остались работать в одном из тех направлений, которые открывал молодым логикам Альберт Григорьевич. [9]
Первые три из них уже использовались ранее и очевидным образом следуют из определений соответствующих операторов. Остальные заимствованы из классической теории множеств. [10]
Это название переведено на русский язык как нечеткие множества. Заде идеи и теории нечетких множеств стала необходимость описания таких явлений и понятий, которые имеют многозначный и неточный характер. Известные до этого математические методы, использовавшие классическую теорию множеств и двузначную логику, не позволяли решать проблемы этого типа. [11]