Cтраница 1
Общая теория интегрирования полученного Л. С. Лей-бензоном уравнения неустановившегося течения газа (8.8) - нелинейного уравнения параболического типа - еще не разработана в достаточной степени. [1]
Общей теории интегрирования других элементарных функций не существует. Известны отдельные случаи, когда интеграл с помощью соответствующей подстановки может быть преобразован в интеграл от рациональной или алгебраической функции. Однако число классов элементарных функций, интегралы от которых элементарны, весьма ограничено. [2]
Проинтегрируем сейчас это уравнение согласно изложенной выше общей теории интегрирования уравнения Бесселя. [3]
Сейчас мы вполне могли бы заняться вопросами, которыми фактически займемся в § 4.11. Однако мы прервем изложение общей теории интегрирования, чтобы показать, что некоторые множества мер в точности представляют пространства, сопряженные к пространствам непрерывных функций. Этот вопрос излагается в § 4.10. В § 4.9 вводится подготовительное понятие носителя меры. [4]
Интегрирование системы дифференциальных уравнений типа ( 1) представляет большие математические трудности, так как в настоящее время отсутствует общая теория интегрирования подобного рода систем. Те немногие успехи, которые имеются в этой области, относятся к решению наиболее простых случаев. [5]
Доказывать осталось не так уж много: 4.8.6 ( i) следует непосредственно из формулы ( 23); 4.8.6 ( и) следует из общей теории стохастического интегрирования по белому шуму; 4.8.6 ( ш) есть следствие выбора константы kd ( вспомним формулы ( 22), ( 24) и лемму 4.8.7); наконец, в силу S-непрерыв-ности процесса К условие 4.8.6 ( iv) тоже выполнено. [6]
До разбора общей теории интегрирования совместим систем днфсренциальных уравнений рассмотрим простой случай, в котором уравнения интегрируются методами, подробно рассмотренными в предшествующих параграфах в то и главы. [7]
Его магистерская диссертация под заглавием Общая теория интегрирования линейных дифференциальных уравнений высших порядков с част-стными производными и с постоянными коэффициентами [97 ] относится к одному из труднейших отделов анализа, в котором испытывали свои силы самые знаменитые математики. [8]
Сложность решения таких задач зависит от многих факторов, в том числе и от характера внешнего силового поля. В этом случае построить сколько-нибудь общую теорию интегрирования невозможно; естественная возможность продвинуться дальше - это наложить какие-то ограничения на геометрию твердого тела, а также на необходимость обладания силовым полем какими-то группами пусть даже и скрытых симметрии. [9]
Тем самым оно представляло собой идеальный объект для применения моих идей о лебеговском интегрировании в пространстве кривых, обладающий также тем преимуществом, что объект этот был физически реальным и тесно связанным с идеями Гиббса. И действительно, применив здесь свои соображения, относящиеся к общей теории интегрирования, я добился значительного успеха. [10]
Это уравнение и является искомым. Оно принадлежит к классу нелинейных уравнений параболического типа, Для которого общая теория интегрирования еще отсутствует. Поэтому при неустановившемся течении газа приходится прибегать к приближенным методам. Ряд таких приближенных методов разработан Л. С. Лейбензоном и Маскетом и успешно разрабатывается в настоящее время. [11]
Эта связь между дифференциальными уравнениями динамики и дифференциальными уравнениями в частных производных относится к общей теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, где она и была открыта Коши в 1819 г. задолго до Якоби. После того как Якоби самостоятельно подметил и изучил эту связь, он получил общую теорию интегрирования дифференциальных уравнений динамики. Метод состоит в том, что вместо непосредственного исследования основных уравнений динамики ищут достаточно общее решение гамильтоновых уравнений в частных производных, из которого интегрирование первых получается, так сказать, само сабой. [12]
Аналогичные результаты сформулированы в этой работе и для суммирования расходящихся рядов, и для общего определения интеграла. Несколько позже в работе [ Bj-27 ], опубликованной в 1930 году, А.Н. Колмогоров подвергает принципиальному анализу и известные, и некоторые новые подходы к определению понятия интеграла, внося стройность и ясность в общую теорию интегрирования, где результаты были, как правило, разрозненными, а связи между ними оставались неясными. [13]