Cтраница 1
Спектральная теория линейных операторов, являющаяся одним из важнейших разделов функционального анализа, в настоящее время находится в интенсивном взаимодействии с многими другими разделами математики и теоретической физики. Ни одно серьезное исследование по дифференциальным уравнениям и математической физике [17], по вычислительной математике [ ю ] и в других областях не обходится и не может обойтись без широкого использования результатов и методов теории линейных операторов. [1]
Об одном обобщении спектральной теории линейных операторов / / Докл. [2]
Учебное пособие посвящено изложению важных разделов спектральной теории линейных операторов и приложению к теории возмущений линейных операторов, вычислительной математике, дифференциальным уравнениям, математической теории параметрического резонанса. [3]
По-видимому, имеется в виду обзор А.И. Плеснера Спектральная теория линейных операторов в журнале Успехи математических наук ( 1941, вып. [4]
Комплексные методы гармонического анализа находят широкое поле приложений в спектральной теории линейных операторов. [5]
В пособии, составленном но программе одноименного спецкурса, излагаются основные положения спектральной теории линейных операторов и теории возмущений линейных операторов. [6]
Читателю, желающему ознакомиться с теорией инвариантов, можно рекомендовать книгу А. И. Плеснера, Спектральная теория линейных операторов, Наука, 1965, где эта теория изложена с исчерпывающей полнотой. [7]
Ряд утверждений о существовании и непрерывности оператора, обратного к линейному непрерывному, содержится в спектральной теории линейных операторов, действующих в гильбертовом пространстве. [8]
Итак, теория свободных колебаний жидкости с математической точки зрения совершенно элементарна: она полностью исчерпывается простейшими фактами спектральной теории самосопряженных линейных операторов. Значительно более трудная и важная проблема - создание эффективных вычислительных методов расчета собственных частот и форм свободных колебаний жидкости в объемах произвольной формы. Эти методы должны удовлетворять ряду условий, основным из которых является обеспечение возможности унифицировать расчеты, поскольку в технике мы сталкиваемся с необходимостью проведения массовых расчетов. Таким образом, вычислительные методы в теории стоячих волн должны обладать высокой степенью стандартизации. [9]
После того как Фредгольмом в самом кодце XIX столетия была развита теория линейных интегральных уравнений, Гильберт в следующем десятилетии создал общую спектральную теорию симметрических линейных операторов. Всего лишь за двадцать лет до этого требовались величайшие математические усилия, чтобы доказать существование основной частоты мембраны, а теперь были даны конструктивные доказательства существования всего ряда гармонических колебаний и их характеристических частот при очень общих предположениях относительно колеблющейся среды. [10]
Аналогичным образом можно получать решения начально-краевых задач для более общих классов уравнений ( 1), при этом роль теории рядов Фурье, связанных с разложением ( 7), играет спектральная теория линейных операторов. [11]
А - вполне непрерывный в L2 самосопряженный оператор. Общие теоремы спектральной теории линейных операторов позволяют нам утверждать ее разрешимость для К - Кп, где А, - дискретная последовательность чисел, имеющая единственную предельную точку в бесконечности. [12]
Далее, операторы Ut образуют однопараметрическую группу: Utl t, Utl Ut, где, как обычно, произведение понимается как последовательное применение операторов. Это позволяет применить к анализу Ut спектральную теорию линейных операторов в гильбертовом пространстве, что, в свою очередь, приводит к доказательству эргодических теорем о поведении движений динамической системы. [13]
Таким образом, основной вопрос - вопрос о существовании и единственности решения функционального уравнения - далеко не всегда поддается элементарному анализу и возникает необходимость в других подходах к его решению. Преимущество подхода, основанного на изучении функциональных операторов, состоит в возможности использовать общие идеи и факты спектральной теории линейных операторов и операторных алгебр. Вместе с тем следует отметить, что изучение специальных классов операторов может служить источником новых задач и новых подходов в общей теории операторов. [14]
Уравнения ( 53) и ( 55) оба являются обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями, решения которых нетрудно построить. Однако построение полного набора решений вида ( 51) уравнения ( 54) и доказательство возможности представления решения и ( х, t) смешанной задачи ( 18), ( 19) для этого уравнения в виде суммы ряда по этим решениям в общем случае без привлечения спектральной теории линейных операторов становятся невозможными. [15]