Бесконечно малый тетраэдр

Cтраница 1

Бесконечно малый тетраэдр ( рис. 1.2.4) вырезан из деформированного тела. [1]

Условия равновесия бесконечно малого тетраэдра ( см. рис. 6), когда поверхность ABC совпадает с поверхностью тела, дают связь между тензором напряжений и внешними силами. Эта связь имеет вид (2.13) или (2.14) с той лишь разницей, что в этих формулах п будет внешней нормалью к поверхности тела в данной точке. Эти условия называются поверхностными или граничными условиями. [2]

Применим этот принцип к бесконечно малому тетраэдру ( рис. 1.1), три ребра которого MQlf MQ2, MQ3 имеют направления координатных осей. [3]

В этом можно убедиться, рассматривая бесконечно малый тетраэдр, содержащий точку Я, одна сторона которого параллельна элементу рассматриваемой поверхности, а три другие перпендикулярны осям координат. Разложив силы, действующие на тетраэдр, на три перпендикулярных направления, получим выражения напряжений, действующих на наклонный элемент, через шесть компонент напряжения. [4]

Раренство (1.21) показывает, что гидростатическое давление действует на все грани бесконечно малого тетраэдра с одинаковой силой и, следовательно, не зависит от угла наклона грани тетраэдра. [5]

Наклонная площадка abc вместе с координатными площадками Oab, Obc и Оса образует бесконечно малый тетраэдр. [6]

Для того чтобы представить себе связь между напряжениями на различных площадках, проходящих вблизи данной точки, рассматривают равновесие бесконечно малого тетраэдра, вырезанного из тела вблизи этой точки. Предположим, что в рассматриваемой точке тела расположено начало прямоугольной системы координат ( рис. 236), будем отмечать оси цифрами /, 2, 3 и проекции векторов на эти оси - соответствующими цифровыми индексами. Площадка, нормаль к которой обозначена единичным вектором v, проходит вблизи точки О и образует вместе с координатными плоскостями тетраэдр АВСО. [7]

Рассмотрим бесконечно малый тетраэдр с ребрами О - А, О - Б и О - С, параллельными осям координат. Образуемые ими треугольники являются проекциями основной элементарной площадки А - В - С на координатные плоскости. [8]

Выделим в деформируемом теле бесконечно малый тетраэдр ( четырехгранник) таким образом, чтобы три его грани совпали с плоскостями координат, пересекающихся в рассматриваемой точке о ( фиг. Четвертая грань тетраэдра, как угодно проведенная по отношению к осям координат, является той площадкой, на которой следует определить напряжения. Для напряжений на площадках aob, аос и hoc принимаем ранее установленные нами обозначения. [9]

Напряжения. На грани элементарного тетраэдра, выделенного внутри твердого тела, действуют результирующие силы ( на единицу поверхности со стороны остальной части тела векторы напряжений. Напряжения складываются из девяти компонент ( параллельных осям координат векторов напряжений, действующих на плоскости, параллельные координатным плоскостям. [10]

Эти плоскости нормальны осям прямоугольной системы координат Ох, Ох2, Охз. Данные три плоскости совместно с четвертой, нормальной некоторому произвольному направлению, определяют бесконечно малый тетраэдр. Величины a2i, 022, 023 и зь Оз2 Озз определяются аналогичным образом ка к компоненты сил Fa и РЗ, которые приложены к граням тетраэдра, нормальным к осям Оя2 и Охз. [11]

Первый из этих примеров есть известный из теории упругости тензор напряжения. Из рассмотрения условий равновесия бесконечно малого тетраэдра, выделенного из упругого тела, получается равенство ( 54), из которого непосредственно вытекает, что напряжение есть тензор второго ранга. [12]

Каждой такой площадке соответствует свое напряжение, определенное по величине и на правлению. Наша дальнейшая задача заключается в том, чтобы выразить напряжение по любой площадке через несколько определенных величин, вполне характеризующих напряженное состояние в данной точке. Покажем, что напряжение на любой площадке, проходящей через О, может быть найдено, если известны напряжения по трем взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через ту же точку. Пусть v - направление нормали к той площадке, для которой нужно найти напряжение. Проводим плоскость ABC ( рис. 2), перпендикулярную к v, так, чтобы она с координатными плоскостями вырезала из тела бесконечно малый тетраэдр ОАВС, и рассмотрим условия равновесия этого тетраэдра. Принимая во внимание малый объем выделенного элемента, при составлении уравнений можно ограничиться лишь поверхностными силами и допустить, что эти силы по каждой из граней тетраэдра распределены равномерно. [13]

Страницы: 1