Cтраница 3
Применения алгебраической топологии к изучению топологических групп преобразований начались исторически с работы Брауэра по периодическим преобразованиям и с доказанной чуть позже красивой теоремы Смита о неподвижных точках отображений гомологических сфер с простым периодом. Сравнивая теорему Смита о неподвижных точках с ее предшественницами - теоремами Брауэра и Лефшеца, мы видим, что по крайней мере в случае гомологических сфер можно подняться от простых утверждений о существовании ( или несуществовании) неподвижных точек до действительного определения гомологического типа множества таких точек в предположении, что отображение имеет простой период. Этот результат Смита ясно подсказывает общее плодотворное направление изучения топологических групп преобразований в рамках алгебраической топологии. Естественно, что немедленно вслед за теоремой Смита о неподвижных точках возникает задача ее обобщения как в направлении замены гомологических сфер топологическими пространствами более общего типа, так и в сторону замены группы Zp более общими компактными группами. Аналогичные теоремы о неподвижных точках для действий р-примар-ных групп ( или расширений торов при помощи р-примарных групп) обычно без большого труда выводятся непосредственно из соответствующих теорем для действий группы Zp. Однако разнообразные усилия расширить область действия таких теорем о неподвижных точках за пределы р-примарных групп ( или расширений торов при помощи р-примарных групп) кончались обычно озадачивающими контрпримерами. Смита о неподвижных точках, справедливые для всех конечномерных локально компактных пространств ( см. теорему IV. [31]
Ясно, что если список упорядочен в порядке убывания, то перед началом цикла будет сделано одно присваивание, а в теле цикла присваиваний не будет. В результате мы получим ложное представление об алгоритме. Вместо этого мы рассматриваем все типы входных множеств. [32]
Так как для линии D DT линия, согласно определению Мандель-брота, не фрактальна, что подтверждает разумность определения. Мы видим, что и обычная поверхность не фрактальна независимо от того, насколько она сложна. Эти примеры позволяют определить некоторые из рассматриваемых нами типов множеств. [33]
В отличие от традиционной математической нотации для обозначения множеств используются квадратные скобки, в которые заключаются элементы множества. Запись [ ] обозначает пустое множество. Пустое множество единственное, и оно принадлежит всем типам множества. [34]
Мы уже убедились в том, что множества Жюлиа функции z2 с обладают большим разнообразием. Действительно, для каждого нового значения с мы получаем впечатляющие изображения. Тем не менее, на самом деле существуют всего два типа множеств Жюлиа. Каждое множество Жюлиа функции / с ( г) г2 с либо связно, либо вполне несвязно. Конечно, они могут выглядеть совершенно различным образом, даже принадлежа к одному и тому же типу. С другой стороны, все вполне несвязные множества Жюлиа обладают тем свойством, что они представляют собой канторову пыль. [35]
Подобным же образом спецификация типа является фрагментом некоторой теории. На выбор алгебр в качестве моделей данной теории ( и в том числе реализаций в качестве моделей компонентных типов данных) мы не накладываем никаких ограничений. Это могут быть алгебры, инициальные по отношению к одним основам ( тип натуральных чисел), терминальные - к другим ( типы множеств), или находящиеся между этими экстремумами. [36]
Определим новые операции над структурами данных для языка PDL. Эти операции могут оказаться полезными в разработке самих структур данных с учетом требований применения этих структур. Ниже будет определено понятие таблицы - структуры данных, которая обеспечивает доступ к другой таблице - таблице данных. Таблица - это особая структура данных типа множества, все элементы которой являются упорядоченными парами. Таким образом, непоименованные структуры данных могут применяться для создания поименованных данных. [37]
В реляционной алгебре определяются основные операции над данными реляционного типа. Основные рассматриваемые ниже операции взяты из реляционной алгебры Кодда. Так как отношение является множеством, то реляционная алгебра является алгеброй взаимосвязей между специфическими множествами, называемыми отношениями. В случае данных типа прямого произведения Хоара есть отличия, и операции над этим типом скорее ближе к операциям над типом множества. [38]
Большинство из них самоподобны. Вид множества Жюлиа зависит от выбора константы с. Меняя с, можно получить невероятное разнообразие множеств. Их граница постоянно меняет свою форму и при некоторых значениях с взрывается, превращаясь в пыль. Несмотря на большее разнообразие, существует всего два типа множеств Жюлиа. Множество Жюлиа может быть либо связным, либо множеством вполне несвязанным. [39]
Схема классов является центральной и обязательной частью. По своей структуре она представляет собой ER-диаграмму с некоторыми расширениями. Схема классов представляет собой множество классов, связанных отношениями. В схему не входят все объекты, хранящиеся в источниках данных, и это позволяет охарактеризовать схему как статическую структуру, как правило, инвариантную к изменению содержимого СИД и отражающую его структуру. Отношения задаются атрибутами особого вида - объектными. Согласно типологии МПО, такие атрибуты имеют тип множества объектов ( в случае отношения 1: 1 или п: 1 состоящего из одного объекта), причем тип объектов соответствует классу, связанному с данным. [40]