Cтраница 1
Рациональный гомотопический тип можно понимать в двух смыслах: либо как совокупность гомотопически эквивалентных рациональных пространств, либо как совокупность всех пространств, рационализации которых гомотопически эквивалентны. Отображения f, g: X - - Y называются рационально гомотопными, если соответствующие отображения рационализации этих пространств гомотопны. [1]
Возьмем теперь в качестве X рациональный гомотопический тип Хл, соответствующий orf в только что доказанном предложении, а в качестве f любое непрерывное отображение / ф, соответствующее Ф: ЗЛ ( М) - - orf ( х) е) при эквивалентности категорий, о которой говорится в теореме Квиллена и Сулливана. [2]
Пусть X есть G-пространство, имеющее рациональный гомотопический тип произведения I нечетномер-ных сфер. [3]
Хорошо йвве зтно, что многообразие Штифеля имеет рациональный гомотопический тип произведения сфер. [4]
Предположим вообще, что тор Т топологически действует на пространстве X, имеющем рациональный гомотопический тип произведения / нечетномерных сфер. [5]
Много позднее ( в начале 1970 - х гг.) Сулливан построил явную форму теории рационального гомотопического типа ( Q-типа) односвязных конечных комплексов, где все вычисления проводятся в рациональной категории и, следовательно, все инварианты тензорно умножены на Q. Он показал, что Q-тип определяется классами эквивалентности некоторых дифференциальных косокоммутативных алгебр. [6]
Пусть G - компактная связная группа Ли, а X есть G-npo - странство, имеющее рациональный гомотопический тип произведения нечетномерных сфер. [7]
Для CW-комплексов Х и их пространства петель QX это приводит к алгоритмической неразрешимости вопроса о равенстве их рациональных гомотопических типов, даже если комплексы состоят только из двумерных и четырехмерных клеток. Наконец, для четырехмерных CW-комплексов доказывается существование рекурсивной последовательности сп такой, что установление изоморфизма яп ( Х) ( 8Q - Qcn для всех / г - алгоритмически неразрешимая задача. [8]
Сулливан построил для произвольного симплициального комплекса К полиномиальный комплекс де Рама АК и показал, что эта коммутативная дифференциальная градуированная алгебра над полем рациональных чисел содержит обширную информацию о рациональном гомотопическом типе комплекса / С Целью настоящей работы является доказательство того факта, что этот полиномиальный комплекс де Рама АК, а фактически уже его алгебра полиномиальных 0-форм А К, содержит всю информацию обо всем гомотопическом типе комплекса К. Роль рациональных чисел представляется здесь несущественной. [9]
Сулливан построил для произвольного симплициального комплекса К полиномиальный комплекс де Рама АК и доказал, что эта коммутативная дифференциальная градуированная алгебра над полем Q рациональных чисел содержит обширную информацию о рациональном гомотопическом типе комплекса К. Недавно мы показали [2], что этот полиномиальный комплекс де Рама АК, а фактически уже его алгебра полиномиальных Q-форм Л / С, содержит всю информацию обо всем гомотопическом типе комплекса / С Этот результат указывает на возможность восстановления всего комплекса де Рама исходя из его алгебры 0-форм Л / С. Цель настоящей заметки - показать, что это в действительности может быть проделано. [10]
X снова имеют рациональный гомотопический тип произведения / нечетномерных сфер. [11]
Мы будем применять формальное пополнение к рациональным гомотопическим типам, поскольку, как оказывается, проконечное пополнение рационального пространства всегда стягиваемо. [12]
Следующая статья, принадлежащая Боусфилду и Гуген-хейму, посвящена дальнейшему развитию идей Сулливана. Комбинируя их с соображениями Квиллена, авторы строят теорию рационального гомотопического типа в существенно более простой и доступной форме. Эта статья труднее статьи Леманна, но зато дает гораздо более глубокое представление о сути дела. [13]
В § 4.3 мы доказываем, что на каждом компактном римановом многообразии, фундаментальная группа которою конечна, существует бесконечно много однократных замкнутых геодезических. Доказательство, помимо изложенных в § 4.2 результатов Громола и Мейера, использует построенную Сулливаном теорию рационального гомотопического типа и - существенным образом - свойства комплекса Морса. [14]
Вскоре после появления циклических гомологии в работах Ю. П. Соловьева и его учеников [27, 36-39, 68] была создана теория диэдральных гомологии, оказавшаяся важным инструментом для исследования гомотопического строения групп гомеоморфизмов многообразий. Используя диэдральные гомологии и теорию рационального гомотопического типа, Ю.П. Соловьев и Р. Л. Красаус-кас разработали эффективную схему для вычисления рангов гомотопических групп для группы гомеоморфизмов односвязных многообразий и получили точные значения этих рангов для квадрик в комплексных проективных пространствах, комплексных многообразий Грассмана, комплексных многообразий флагов. Сравнительно недавно Н.В. Солодов [71] разработал конструкцию бивариантных диэдральных когомологии и нашел серию точных последовательностей, связывающих эти когомологии с бивариантными циклическими когомологиями. [15]