Тождество - эйлер
Cтраница 1
Тождество Эйлера справедливо и при 1; в этом случае обе части равенства бесконечны. [1]
Тождества Эйлера приводят к знаменитому тождеству Якоби для тройного произведения, а формула Гейне приводит к замечательной формуле произведения Рамануджана. [2]
Тождество Эйлера вскрывает зависимость между функциями тригонометрической и показательной. Далее, из формулы ( 1) заменой г на - г получаем. [3]
Тождество Эйлера было применено самим Эйлером только для фиксированного значения s ( s 1), а Чебышевым для всех вещественных, больших единицы. Риман же первый стал рассматривать 5 как комплексное переменное и исследовать ряд в левой части тождества ( 3) с помощью методов теории аналитических функций. [4]
Тождество Эйлера вскрывает зависимость между функциями тригонометрической и показательной. [5]
Предположение, что тс - число алгебраическое ] благодаря существованию тождества Эйлера е - 1 и соотношению типа ( 18), которое невозможно для алгебраических чисел, приводило к противоречию, откуда следовал вывод о трансцендентности тс. [6]
Теорема 1, очевидно, покоится на том же принципе, что и тождество Эйлера, и мы можем провести ее доказательство, опираясь непосредственно на это тождество, беря в нем 5 - l - f - О. [7]
Мы докажем первые два из них, как это было сделано Рамануджаном, используя тождества Эйлера и Якоби. [8]
 |
Визуализация квадратурного сигнала с помощью осциллоскопа. [9] |
Соотношение ( 8 - 13) хорошо известно, его также называют одним из тождеств Эйлера. [10]
Менее очевидным является то обстоятельство, что и формулы § 5 также связаны с тождеством Эйлера. [11]
И в заключение Енс Карстен Янцен знакомит нас с деятельностью специалистов по комб ина-торике - людей, которые делают с конечными множествами все мыслимое и немыслимое, а потом спрашивают себя, сколькими способами это можно сделать. Он рассказывает нам о перестановках ч разбиениях, диаграммах Юнга и канонических таблицах, а также об удивительной связи между этими комбинаторными понятиями. Затем мы узнаем, чем занимаются специалисты по теории представлений и сколь многим обязаны специалистам по комбинаторике те, кто изучает представления симметрических или общих линейных групп. И наконец, новый поворот темы о связи теории представлений с комбинаторикой: теория представлений возвращает долг комбинаторике, унифицируя и обобщая знаменитые тождества Эйлера, Гаусса и Якоби для степенных рядов. [12]
Решениям проблемы, о которых мы говорили выше, можно было бы поставить в упрек то, что они опираются на идеи, чрезвычайно далекие от первоначальной постановки вопроса. Представлялось бы естественным искать доказательство асимптотического закона распределения простых чисел, не зависящее от теории функций комплексного переменного. Однако до настоящего времени такого доказательства найдено не было. Мы можем пойти даже дальше и усомниться в том, чтобы такое доказательство вообще могло быть найдено, по крайней мере поскольку теория основывается на тождестве Эйлера. Действительно, все известные доныне доказательства асимптотического закона распределения простых чисел основываются на некоторых свойствах комплексных нулей функции С ( s), и, обратно, эти свойства являются простыми следствиями самого асимптотического закона. [13]
Страницы: 1