Cтраница 1
Топология трехмерных многообразий и интегрируемые механические гамильтоновы системы / V Тнраспольский симпозиум по общей топологии и ее приложениям. [1]
Следующие теоремы являются общеупотребительным инструментом в топологии трехмерных многообразий и были использованы в данном изложении. [2]
Эти результаты имеют многочисленные применения в топологии трехмерных многообразий и, в частности, в теории узлов. Так, если К - узел, то л1 ( 83К) изоморфно % тогда и только тогда, когда К - тривиальный узел. [3]
Обзор разбит на три раздела: в первом рассматриваются работы с преобладанием чисто топологических методов, во втором - главным образом работы по топологии трехмерных многообразий, в третьем - работы по комбинаторным многообразиям. [4]
Однако этот метод не получил широкого распространения в связи с тем, что, во-первых, из-за нарушения Hauptvermutung он но дает доказательства топологич. Более или менее систематически этот путь применяется в топологии трехмерных многообразий и в теории узлов. [5]
В книге также отражены результаты, полученные автором, в частности теория топологических перестроек торов Лиувилля и полная классификация изоэнергетических поверхностей гамиль-гоновых уравнений, интегрируемых при помощи интегралов общего положения. В рамках этой теории обнаружена глубокая: вязь между свойствами интегрируемых уравнений и топологией трехмерных многообразий, обнаружен топологический инвариант интегрируемых уравнений общего положения. В книге освещаются также результаты, полученные участниками научно-исследова - ельского семинара Современные геометрические методы, действующего под руководством автора на механико-математичес-сом факультете МГУ. [6]
Пуанкаре), то и его универсальное накрытие не содержит фальшивых клеток, пока не существует чисто топологического доказательства. Из всех геометрических приложении анализа к топологии теорема об эквивариантной петле и ее следствия в топологии трехмерных многообразий теснее всего связаны с теоремой Дональдеона в топологии четырехмерных многообразий. Поэтому неудивительно, что те же топологи, которые несколько лет назад занималась минимальными поверхностями в трехмерных многообразиях, теперь изучают уравнения Янга - Миллса на четырехмерных многообразиях. [7]
Хакена привела к фундаментальным работам Вальдхаузена по классификации достаточно больших многообразий, к понятию несжимаемых поверхностей и к введенному С. В. Матвеевым понятию специального спаина. Хотя мы не обсуждаем работы этих и других авторов в нашей книге, разработанные ими методы чрезвычайно важны для топологии трехмерных многообразий. [8]
Следовательно, эта группа тривиальна. Отсюда вытекает ( см. следующий семестр), что пространство X является так называемой гомологической сферой. Любопытно, что разнообразные попытки построить трехмерную гомологическую сферу с конечной фундаментальной группой все приводят к пространству X. Можно поэтому думать, что роль этого пространства в топологии трехмерных многообразий должна быть весьма значительной. [9]
JT и f l налагаются три топологических условия - требуется, чтобы форма пересечений со была положительно определенной, первое число Бетти & L обращалось в нуль и группа Сг была трехмерной. При ослаблении любого из этих требований появляются серьезные трудности. Вытекающий из нее результат о несглаживаемости справедлив для компактных ориентированных четырехмерных многообразий с почти любой конечной фундаментальной группой, зато класс форм пересечений таких многообразий довольно ограничен. Одно из достоинств их подхода - значительно более простой аналитический аппарат. Поскольку результаты Финтушела и Стерна имеют важное значение для топологии трехмерных многообразий, мы наложим ъ этой главе легкий случай их теоремы. Трудности в остальных случаях носят не аналитический характер, а связаны главным образом с теоретико-числовыми свойствами формы пересечений, но мы дадим достаточно информации для того, чтобы читатель смог самостоятельно восполнить пропущенные детали. [10]
Важное значение этой конструкции для изучения трехмерных многообразий было осознано топологами гораздо позже, в частности, после замечательных исследования В.А. Рохлина в 50 - е годы и не менее впечатляющих результатов Кирби в 70 - е годы. Этот инструмент работает только в гладкой категории, потому что он основан на теории Морса. Основная операция - приклеивание ручек различных индексов, соответствующих особым точкам функции Морса - тесно связана с перестройками многообразий. В размерности 3 достаточно одного типа перестроек ( вырезание полнотория и вклеивание его обратно), поэтому нет необходимости разрабатывать весь технически сложный аппарат дифференциальной топологии и теории Морса. Значительную часть всего того, что известно в области топологии трехмерных многообразий, можно получить и без этого. [11]