Cтраница 1
Точка выпуклого множества М называется внутренней, если она принадлежит открытому ядру множества М в его аффинной оболочке, и граничной в противном случае. [1]
Точка выпуклого множества, которая не является внутренней ни для какого ненулевого отрезка, целиком принадлежащего этому множеству, называется его крайней точкой. [2]
Точка U выпуклого множества С называется крайней точкой, если U нельзя выразить в виде выпуклой комбинации двух различных точек из С. [3]
Среди точек выпуклого множества можно выделить точки внутренние, граничные и угловые. Точка множества называется внутренней, если существует окрестность, в которой содержатся только точки данного множества. Точка называется граничной, если в ее окрестности содержатся как точки, принадлежащие данному множеству, так точки и не принадлежащие ему. Точка множества называется угловой ( или крайней), если она не является внутренней ни для одного отрезка, целиком принадлежащего данному множеству. [4]
Среди точек выпуклого множества можно выделить точки внутренние, граничные и угловые. Точка множества называется внутренней, если существует окрестность, в которой содержатся только точки данного множества. [5]
Определение 1.11. Точка X выпуклого множества называется угловой, если она не может быть представлена в виде выпуклой линейной комбинации каких-нибудь двух других различных точек данного множества. [6]
Назовем точку х0 АаХ окруженной точкой выпуклого множества А, если множество А - х0 является поглощающим. [7]
У г л о в ы м и ( крайними) точками выпуклого множества называются точки, не являющиеся выпуклой комбинацией двух различных точек этого множества. [8]
Теорема 24.5. Пусть f - выпуклая функция на Н, конечная во всех точках открытого выпуклого множества С. [9]
Заметим, что в этом определении К не может принимать значений 0 и 1, что означает, что крайняя точка не может лежать внутри отрезка соединяющего любые две точки выпуклого множества, а может быть лишь концевой точкой этого отрезка. [10]
Всякое компактное выпуклое множество является замыканием выпуклой оболочки своих крайних точек. Точка выпуклого множества К называется крайней, если она не является серединой отрезка, целиком лежащего в К. [11]
Если г е Я, г tx ( 1 - f) у и 0 / 1, то точка г называется внутренней для рассматриваемого отрезка. Если точка выпуклого множества не служит внутренней для какого-нибудь отрезка, принадлежащего этому множеству, то она называется крайней точкой этого множества. Замкнутое выпуклое множество в Н называется строго выпуклым, если все его граничные точки крайние. [12]
Если точка h гильбертова пространства Я принадлежит интервалу, соединяющему точки f и g ( отрезком, соединяющим точки fug, называется совокупность векторов вида / f ( l - t) g, где 0 1), то h предста-вимо в виде h tf ( l - t) g, 0t и называется внутренней точкой отрезка. Если точка выпуклого множества не служит внутренней ни для какого отрезка, принадлежащего этому множеству, то она называется крайней точкой этого множества. Замкнутое выпуклое множество в Я называется строго выпуклым, если все его граничные точки крайние. [13]