Cтраница 1
Точки евклидовой плоскости в отличие от несобственных точек называют собственными. [1]
Присоединим к множеству всех точек евклидовой плоскости один элемент, который будем называть несобственной или бесконечно удаленной точкой плоскости я. Условимся считать, что любая прямая плоскости л проходит через бесконечно удаленную точку и что эта точка не принадлежит никакой конечной фигуре. Евклидова плоскость, пополненная одной бесконечно удаленной точкой ( с указанными соглашениями) называется евклидово конформной плоскостью или просто конформной плоскостью. Прямые, лежащие на конформной плоскости, будем иногда называть окружностями бесконечно большого радиуса. [2]
Рассмотрим некоторые множества М точек евклидовой плоскости и евклидова пространства. [3]
Пары ( К, ( л) удобно представлять как точки евклидовой плоскости. Назовем такую точку устойчивой, если соответствующие решения системы (15.3) все ограничены, и неустойчивой в противном случае. [4]
Если сопоставить точке плоскости Лобачевского с координатами х, у точку евклидовой плоскости с теми же декартовыми координатами, то речь идет о преобразованиях круга x2 i / 2l в себя, при которых прямые переходят в прямые. Известно, что все такие преобразования являются проективными. Но всякое ли такое преобразование является движением. [5]
Как мы видели в § 1 настоящей главы, единствен ной точкой евклидовой плоскости, не имеющей поляры, является центр О окружности со, относительно которой производится полярное преобразование. Для того чтобы устранить это исключение и превратить полярное преобразование в преобразование всей плоскости, переводящее каждую точку в прямую, а каждую прямую в точку, мы расширили евклидову плоскость, добавив единственную идеальную прямую, называемую бесконечно удаленной прямой, которая становится полярой точки О. Эта расширенная плоскость называется проективной плоскостью. [6]
Аналитическая геометрия плоскости основывается на допущении о возможности попарного соответствия между точками евклидовой плоскости и элементами множества R x R - множества упорядоченных пар действительных чисел. Естественно ожидать, что для представляющих наибольший интерес геометрических конфигураций определяющими свой ствами соответствующих им отношений в R будут служить алгебраические уравнения относительно А: и у, неравенства, содержащие к и у, а также некоторые комбинации таких уравнений и неравенств. В таких случаях определяющее свойство отношения, связанного с какой-либо конфигурацией, относят обычно в качестве описания к самой этой конфигурации, а об отношении явным образом и не упоминают. [7]
Таким образом, число ( OEM) есть аффинный инвариант прямолинейной тройки точек евклидовой плоскости, притом принимающий различные значения для аффинно неэквивалентных троек. [8]
Примерами могут служить, скажем, множество всех простых чисел или множество точек евклидовой плоскости, координаты которых ( в некоторой фиксированной системе координат) рациональны. [9]
В принципе не очень важно, какой способ выбрать, но особенно удобно воспользоваться координатами: каждая точка евклидовой плоскости задается парой своих координат ( х, у) относительно двух фиксированных осей. [10]
В другой работе Н о р д е н [14] дал конструкцию двухмерной афинно-связной геометрии, элементы которой обобщают не точки евклидовой плоскости, а ее прямые: точку этой геометрии нужно интуитивно мыслить наподобие прямой линии, а направление, исходящее из точки, - наподобие точки, отмеченной на прямей. В частности, в пространстве прямых евклидовой плоскости возникает афинная связность этого типа. [11]
Будем считать, что все п тел изображаются п точками двумерной евклидовой плоскости. Пусть начало координат - точка 0 - совмещена с центром масс системы п тел. [12]
Однако, как мы увидим, прямолинейные четверки точек, вообще говоря, уже проективно не эквивалентны. Оказывается, что для них можно простым геометрическим способом определить проективный инвариант, аналогичный рассмотренному выше аффинному инварианту прямолинейной тройки точек евклидовой плоскости. [13]
Однако, согласно § 28, две прямолинейные тройки точек А, В, С и А, В, С, вообще говоря, уже аффинно не эквивалентны, так как аффинным образом тройки Л, В, С может служить лишь такая тройка Л, В, С, в которой точка Вг делит отрезок А С в том же отношении, в каком В делит АС. Каждой упорядоченной прямолинейной тройке точек евклидовой плоскости можно очень простым геометрическим способом отнести некоторое число, одинаковое для аффинно эквивалентных троек и различное для аффинно неэквивалентных. [14]
Заметим, что понятие функции двух переменных отличается от сформулированного выше понятия функции одной пере менной лишь тем, что вместо слов евклидова прямая используется термин евклидова плоскость. Совершенно аналогично вводится понятие функции трех переменных. Для этого вместо множества М точек евклидовой плоскости нужно взять множество М точек евклидова пространства. [15]