Cтраница 1
Интуиционистская точка зрения на понятие бесконечного множества также отличается от точки зрения большинства математиков. Интуиционисты отвергают идею бесконечного множества как замкнутого целого. Они смотрят на бесконечное множество как на нечто, постоянно находящееся в состоянии образования. Поэтому, например, множество всех положительных целых чисел не рассматривается ими как замкнутое целое. [1]
Интуиционистская точка зрения па понятие бесконечного множества также отличается от точки зрения большинства математиков. Интуиционисты отвергают идею бесконечного множества как замкнутого целого. Они смотрят на бесконечное множество как на нечто, постоянно находящееся в состоянии образования. Поэтому, например, множество всех положительных целых чисел не рассматривается ими как замкнутое целое. [2]
Рассмотрим теперь с интуиционистской точки зрения, каким образом следствие 2 из теоремы 60 дает доказательство непротиворечивости для классической элементарной арифметики. Вторая часть этого доказательства состоит в явной или неявной проверке того, что интуиционистская формальная система для арифметики интуиционистски верна. [3]
Всякая выводимая формула этого исчисления приемлема с интуиционистской точки зрения; более сложен вопрос о полноте описанного исчисления. [4]
Анализ принципов, положенных в основу НА, показывает, что все они, по-видимому, приемлемы с интуиционистской точки зрения. Формулы НА выражают суждения о конструктивных объектах, а способы рассуждения согласуются с эффективным пониманием логических связок. Выводы НА приемлемы и с классической точки зрения просто потому, что НА - часть FA. В этом смысле на НА можно смотреть как на нейтральную теорию, и если некоторое предложение выведено в НА, то можно считать, что такое предложение выведено особенно надежно, доказано финитно. Можно считать, что непротиворечивость системы НА очевидна в силу самой содержательной интерпретации этой теории. [5]
Если формальная теория не удовлетворяет свойствам типа 5.10, 5.11, то это не означает, что теория неприемлема с интуиционистской точки зрения, - она может быть просто существенно неполна. Однако, наличие свойств дизъюнктивности и экзистенциальности является некоторым доводом, указывающим на существенно интуиционистский характер теории. Во главу угла интуиционистская математика ставит эффективное понимание логических связок, и указанные теоремы являются одним из подтверждений этой эффективности. Нашей же задачей является обсуждение и уточнение идеи эффективности в математических теориях. [6]
Логицистический тезис может быть, наконец, подвергнут сомнению по той причине, что логика уже предполагает математические идеи в своей формулировке. С интуиционистской точки зрения существенное математическое ядро содержится в идее итерации, которой приходится пользоваться, например, при описании иерархии типов или понятия вывода из данных посылок. [7]
Замечательной особенностью всей математики, столь затрудняющей доступ к ней профанам, является щедрое употребление в ней символов. С интуиционистской точки зрения это отнюдь не существенный признак математики; интуиционист видит в символах как и в человеческой речи, только вспомогательное средство, служащее благодаря процессу фиксации опорой нашей памяти и позволяющее передавать мысли другим. Иначе обстоит дело в системе формализма. Для него математика целиком и полностью состоит из символов, не имеющих никакого раскрывающегося в чувственной или духовной интуиции значения, символов, с которыми оперируют согласно твердо установленным правилам; человеческая же речь, например, при описании замещения и практического правила умозаключения и в математических рассуждениях, служит для ( принципиально говоря, всегда остающегося ненадежным, объяснения, именно для) сообщения о способах действия и обладающих значением духовных актов мышления. [8]
Опишем теперь неформально некоторые семантические соглашения, характерные именно для интуиционистского понимания суждений. С интуиционистской точки зрения каждая формула представляет собой неполное сообщение о некотором выполненном построении. [9]
Теория будет задана при этом в форме генценовского исчисления секвенций. Наша система отличается от теории Такахаси только наличием полного набора логических связок, но предлагаемое доказательство существенно иное и с интуиционистской точки зрения имеет ряд важных преимуществ. [10]
Теория будет задана при этом в форме генценовского исчисления секвенций. Наше исчисление секвенций отличается от теории ITE Такахаси [9] лишь полным набором логических связок, но предлагаемое доказательство существенно иное и с интуиционистской точки зрения имеет ряд важных преимуществ. [11]
Мне тоже кажется, что совершенно справедливо давать оценку математической системы по ее полезности. Я допускаю, что с этой точки зрения у интуиционизма до сих пор было мало шансов на успех, так как было бы преждевременно подчеркивать немногие и слабые признаки того, что он может принести какую-либо пользу в физике [ Детуш, 1951 ]; по-моему, у него больше шансов принести пользу в философии, истории и социальных науках. Действительно, с интуиционистской точки зрения математика является изучением определенных функций человеческого разума и, как таковая, сродни этим наукам. Однако является ли польза единственным мерилом ценности. Легко привести такие сферы деятельности, которые никоим образом не служат науке и тем не менее не лишены ценности. Мы заявляем, что у интуиционизма есть ценность такого же рода, которую трудно описать заранее, но которая ясно ощущается, когда непосредственно имеешь дело с ним. Вы знаете, как трудна для философов проблема определения понятия ценности в искусстве, однако любой образованный человек ощущает эту ценность. Аналогично обстоит дело и с ценностью интуиционистской математики. [12]
Но независимо от того, какое значение приписывать подобному сведению математического мышления к идее двуединства, независимо от этого, с точки зрения интуиционизма именно полная индукция охраняет математику от опасности превратиться в чудовищную тавтологию и придает ее положениям синтетический, не аналитический характер. Метод полной индукции действительно является основной и пронизывающей всю математику чертой ее. Если на первый взгляд может показаться, что он не играет никакой роли в элементарной геометрии, и в особенности р проективной геометрии, то это объясняется лишь тем, что в них термины существует и все применяются к точкам самым наивным образом. С интуиционистской точки зрения это недопустимо: поле геометрических построений представляет собою континуум и потому может быть подвергнуто строгой математической разработке лишь после того, как оно будет покрыто, как это было описано выше, сетью деления. [13]
Если мы придерживаемся классической метаматематики, то легко видеть, что ( РХ, С) является даже полной булевой алгеброй. Но и в рамках интуиционистского рассмотрения ( РХ, С) является псевдобулевой алгеброй, причем импликацию следует определять именно так, как это сделано выше, а не, скажем, в виде ( а Э 6) ( Х а) U Ъ, что эквивалентно нашему определению с классической, но отнюдь не с интуиционистской точки зрения. Разумеется, в некоторых частных случаях можно и интуиционистски убедиться, что ( РХ, С) является булевой алгеброй, например, если X - конечное, заданное явным списком множество. [14]
Мы ожидаем, что настоящее интуиционистское понимание логических связок таково, что из доказательства истинности суждения всегда можно извлечь способ построения объектов, существование которых утверждается. Так, если в конкретной ситуации мы признали истинность дизъюнкции ( V), то конструкция, подтверждающая это суждение, должна давать способ указания истинного члена этой дизъюнкции. V - ( р) немедленно ведет к противоречию. Таким образом, допустив - ( ( р V -), выводим J, т.е. - ( ( р V -у. Это свидетельствует о том, что закон снятия двойного отрицания - i - i D ( р также не всегда приемлем с интуиционистской точки зрения. Для доказательства - i - i достаточно уметь привести к противоречию гипотезу - i fr, в то время как для доказательства ф может оказаться необходимым отыскать способы построения некоторых сложных объектов. С интуиционистской точки зрения это далеко не одно и то же. [15]