Любая точка - фазовое пространство
Cтраница 1
Любая точка фазового пространства, для которой F ( x) не обращается в нуль, называется обыкновенной или регулярной фазового портрета системы. Точка х, в которой F ( x) 0, называется особой или сингулярной. В особой точке вектор фазовой скорости равен нулю, поэтому особые точки называют еще точками покоя или точками равновесия. [1]
В качестве начальной необходимо рассмотреть любую точку фазового пространства, т.е. требуется выделить всю совокупность оптимальных траекторий. [2]
Из этих рисунков следует, что из любой точки фазового пространства можно попасть в начало координат, произведя не более одного переключения управляющего воздействия. Исключение составляют лишь те точки фазового пространства, которые на рис. 3 - 1 6 лежат выше и ниже прямых х21 и х2 - 1, включая точки на самих прямых. Для этих областей начало координат является недостижимым. [3]
Если релаксация проходит настолько бурно, что априорная вероятность найти фазовую точку в любой точке фазового пространства одинакова, то для расчета наиболее вероятного распределения точек в фазовом пространстве при заданном наборе ограничений можно применить методы статистической механики. Это равносильно вычислению функции распределения. Обычно статистический анализ применяется непосредственно к физическим частицам, но его можно применить и к представляюшим точкам в фазовом пространстве. Оба подхода приводят к верным результатам ( при правильной интерпретации), и обычно используется тот из них, который более удобен для решения данной конкретной задачи. [4]
 |
Условное изображение фазовой траектории макросистемы в Г - пространстве. [5] |
Вследствие этого фазовая точка макросистемы в принципе может оказаться в результате своего движения в любой точке фазового пространства. В частности, если в начальный момент времени то макросистема находилась в точке MQ фазового пространства и значения динамических функций ( A ( q) макросистемы в этой точке существенно отличались от равновесных, то можно ожидать, что з некоторые моменты времени фазовая точка макросистемы может оказаться в сколь угодно малой окрестности точки Мо1) - Считается, что это положение справедливо для любых макросистем, однако строго доказано лишь в теории гамильтоновых систем, где носит название теоремы Пуанкаре. [6]
В теореме 2.5, в отличие от теоремы 2.4, конечной точкой х1 может быть любая точка фазового пространства. [7]
Задавая определенным образом зоны действия для всех моделируемых зондирующих кривых фазового пространства, можно добиться, чтобы в любой точке фазового пространства переменных KI и л 2 объект получал необходимое управляющее воздействие и. В заключение следует отметить, что применение рассмотренного метода, который можно назвать методом мигающей поверхности, для систем с действительными корнями характеристического уравнения ( заданного уравнения движения) обычно не вызывает трудностей при реализации и осуществляется достаточно просто с помощью обычных средств вычислительной техники. [8]
В Л - мерном фазовом пространстве каждому состоянию а отвечает некоторая точка, а все состояния, в которых а принимают лишь значения 1, соответствуют вершинам jV - мерного куба. В зависимости от конкретного выбора элементов матрицы / у некоторые из этих вершин будут отвечать устойчивым стационарным состояниям динамической системы. Каждая такая точка - аттрактор - обладает своей областью притяжения, причем, поскольку других аттракторов система не имеет, ( почти) любая точка фазового пространства принадлежит области притяжения одного из стационарных состояний. [9]
Сильно неустойчивые механические системы оказываются статистическими - они могут описываться лишь в терминах теории вероятности. Так, сосуд с газом, молекулы которого испытывают упругие соударения, есть сильно неустойчивая система. Траектория любой частицы изменяется при каждом соударении. Легко показать, что ее отклонение от первоначальной траектории экспоненциально растет с числом соударений и следовательно, со временем. Так как это относится к траектории любой частицы, то неустойчиво состояние системы в любой точке фазового пространства. Для этого вовсе не обязательно наличие большого числа независимых степеней свободы. [10]
Попытавшись изобразить все множество траекторий в лагранжевом пространстве конфигураций, мы получим безнадежно запутанное переплетение линий. Движение может начинаться из любой точки пространства конфигураций в произвольном направлении и с произвольной начальной скоростью. Невозможно получить какое-либо упорядоченное представление всех этих линий. При заданном положении С-точки эти уравнения определяют значение ее скорости. Движение может начаться в любой точке фазового пространства, но задание одной точки Р однозначно определяет всю траекторию. [11]
Страницы: 1