Cтраница 2
Так как в книге используются логические и общематематические понятия, не очень знакомые начинающему математику, то мы должны начать с посвященного им короткого раздела. При этом мы не будем вдаваться в трудности, связанные с основаниями математики, а будем повсюду придерживаться наивной точки зрения, избегая определений, содержащих порочный круг и приводящих к парадоксам. Более подготовленному читателю в этой главе следует лишь запомнить смысл символов е, d, : э, U, V и а все остальное можно пропустить. [16]
Так как в книге используются логические и общематематические понятия, не очень знакомые начинающему математику, то мы должны начать с посвященного им короткого раздела. При этом мы не будем вдаваться в трудности, связанные с основаниями математики, а будем повсюду придерживаться наивной точки зрения, избегая определений, содержащих порочный круг и приводящих к парадоксам. Более подготовленному читателю в этой главе следует лишь запомнить смысл символов е, с, гэ, U, V и а все остальное можно пропустить. [17]
С такими наивными представлениями мы, действительно, встречаемся у самых выдающихся математиков в период возникновения исчисления бесконечно малых. Главный интерес для Кеплера представляет измерение объемов бочек и их наиболее целесообразная форма. При этом он становится целиком на только что отмеченную наивную точку зрения: он представляет себе бочку состоящей из большого числа тонких листов, например из бумаги, и считает объем бочки равным сумме объемов этих листов ( рис. 97), каждый из которых представляет собой цилиндр. Подобным же образом поступает он и при вычислении объемов простых геометрических тел, например шара. [18]
Если начальные значения параметров состояния известны, то дальнейшее является уже делом математика. Уравнения движения Ньютона плюс начальные данные однозначно решают механическую задачу. Дальнейшая судьба точки, а также ее прошлое могут быть прослежены в принципе на сколь угодно большие сроки вперед и назад. Великий французский ученый и мыслитель Лаплас говорил: если бы знать начальные координаты и скорости всех частиц, из которых состоит мир, то можно было бы предсказать судьбу мира. Эта несколько наивная точка зрения, сводящая все сущее к чисто механическим явлениям, несправедлива в принципе, и не только потому, что практически невозможно располагать требуемыми сведениями. Дело в том, что механика, основывающаяся на законах Ньютона, имеет ограниченное применение и выводы ее не могут применяться столь широко. [19]