Cтраница 2
Если какому-нибудь понятию присвоены признаки, которые друг другу противоречат, то я скажу: это понятие математически не существует. Если же удается доказать, что свойства, которыми обладает некоторое понятие, никогда не приведут с помощью конечного числа умозаключений к противоречию, то я скажу, что существование этого математического понятия, например, числа или функции, удовлетворяющего определенным условиям, доказано. В рассматриваемом случае, где речь идет об аксиомах арифметики вещественных чисел, доказательство непротиворечивости этих аксиом равносильно доказательству математического существования понятия вещественных чисел, или континуума. В самом деле, если удастся полностью доказать непротиворечивость этих аксиом, то все соображения, которые подчас приводились против существования понятия вещественных чисел, теряют всякое основание. Правда, понятие вещественных чисел, то есть континуума, представляет собой при вышеизложенной точке зрения не просто совокупность всех возможных законов, которым могут следовать элементы какого-либо фундаментального ряда, но систему элементов, взаимные соотношения между которыми устанавливаются системой аксиом и для которых справедливы все те, и только те положения, которые могут быть получены из этих аксиом конечным числом логических умозаключений ( цитируется по книге: Проблемы Гильберта. [16]