Траектория - броуновская частица
Cтраница 1
Траектории броуновских частиц; точками отмечены положения частиц через одинаковые промежутки времени. [1]
Если изобразить теперь траекторию броуновской частицы, то через конечный промежуток времени эта траектория будет неотличима от плоскости. Пусть квадратные ячейки сетки имеют размеры е х е, е С I. Если бы береговая линия имела вполне определенную длину LTV, то число ячеек N ( s), необходимых для покрытия береговой линии на карте, должно было быть обратно пропорционально е, а величина L ( e) - eN ( e) при уменьшении е должна стремиться к постоянной величине - длине линии Ьдг. Однако наши ожидания расходятся с реальностью. [2]
Весьма важным примером фрактальной кривой является траектория броуновской частицы. Ее фрактальность проявляется в том, что, увеличивая разрешение микроскопа и уменьшая время между фиксациями местоположениями броуновской частицы, мы вновь получим подобные друг другу блуждания. График зависимости координаты броуновской частицы от времени ( винеровский процесс) является самоаффинной кривой и также нигде не дифференцируется. [3]
Рассмотрим двумерное броуновскоее движение на плоскости и предположим, что траектория броуновской частицы вычерчена чернилами. Мы катим сферу на плоскости без проскальзывания вдоль броуновской кривой. Получающаяся в результате такого перенесения траектория определяет случайную кривую па сфере, и и действительности она определяет броуновское движение па сфере. Эта идея построения сферического броуновского движения была впервые предложена Бохпером. Такой метод может быть применен и в случае общего риманова многообразия. Воспользовавшись связностью в смысле Леви-Чивита, можно покатать многообразие вдоль гладкой кривой в евклидовом пространстве, и хотя броуновская кривая в евклидовом пространстве не является гладкой, тем не менее стохастическое исчисление позволяет нам катитъ многообразие вдоль такой кривой. Таким путем получается броуновское движение на римаповом многообразии. [4]
 |
Определение длины береговой линии между точками А и В. [5] |
Дело в том, что на маленьких масштабах сказывается конечность массы и размеров броуновской частицы, а также конечность времени соударения. При учете этих обстоятельств траектория броуновской частицы становится плавной кривой. [6]
Хотя траектории винеровского процесса являются с вероятностью единица непрерывными функциями, сам винеровский процесс весьма нерегулярен, как и подобает модели броуновского движения. Эти особенности винеровского процесса являются, разумеется, идеали-зациями, но они отражают тот факт, что траектории реальной броуновской частицы необычайно мелки и не могут быть прослежены в деталях. Траектория, изображенная на рис. 2.1, позволяет составить примерное представление об этих свойствах винеровского процесса. [7]
В этом опыте моделями броуновских частиц служат упругие деревянные шары. В результате ударов шаров о металлические стержни траектория их падения представляет ломаную линию, которая: имитирует траекторию броуновских частиц. [8]
Однако, как мы знаем, молекулярные точки являются беспорядочными, вследствие чего изменения величины X носят случайный характер, и мы не можем, решая уравнение ( 2 31), найти траекторию броуновской частицы. [9]
В качестве еще одного примера определим фрактальную размерность полимерной цепочки в клубке макромолекулы. Известно, что последняя представляет собой хаотично запутанную длинную цепь последовательно соединенных молекул полимера. Если представить себе точку, движущуюся вдоль такой цепочки, то ее траектория есть ни что иное, как траектория броуновской частицы. [10]
Сравнительно давно в математике возник образ объекта, более объемистого, но тем не менее сходного с линией. Некоторым ученым было трудно примириться с понятием линии, не имеющей ширины, поэтому постепенно ими стали изучаться геометрические формы и структуры, имеющие дробную пространственную размерность. На смену непрерывным кривым, обладающим всеми своими производными, пришли ломаные или очень изрезанные кривые. Ярким примером такой кривой является траектория броуновской частицы. [11]
 |
График построения фрактала. [12] |
Получается, что длина непрерывной кривой, расположенной в ограниченной области плоскости, бесконечна. Схожее свойство имеют траектории частицы в броуновском движении. Если вести наблюдение за движением броуновской частицы в замкнутой области в течение определенного промежутка времени, то траектория четко определена и ее можно просто нанести на лист бумаги. Однако чем больше время наблюдения, тем плотнее траектория заполняет плоскость. Хорошо известно следующее свойство траектории броуновской частицы. Тогда для любого сколь угодно малого значения можно указать такое конечное время / ( 5), при котором траектория частицы будет неотличима от плоскости в следующем смысле. [13]
Молекулы пахучей жидкости, испаряясь, перемещаются среди молекул воздуха даже при отсутствии конвекции. При обычных температурах молекулы движутся со скоростью пули. Однако мы, находясь в одном конце комнаты, не можем почувствовать через тысячные доли секунды запах жидкости, пролитой в другом конце комнаты. Это кажущееся противоречие с выводами кинетической теории объясняется тем, что движущаяся в газе молекула непрерывно сталкивается со встречными молекулами и при этом каждый раз изменяет направление своего движения. Таким образом, молекула описывает довольно сложный ломаный путь, похожий на траекторию броуновской частицы, изображенную на рис. 2.28, и лишь весьма медленно удаляется от своего первоначального положения. [14]
Молекулы пахучей жидкости, испаряясь, перемещаются среди молекул воздуха даже при отсутствии конвекции. При обычных температурах молекулы движутся со скоростью пули. Однако мы, находясь в одном конце комнаты, не можем почувствовать через тысячные доли секунды запах жидкости, пролитой в другом конце комнаты. Это кажущееся противоречие с выводами кинетической теории объясняется тем, что движущаяся в газе молекула непрерывно сталкивается со встречными молекулами и при этом каждый раз изменяет направление своего движения. Таким образом, молекула описывает довольно сложный ломаный путь, похожий на траекторию броуновской частицы, изображенную на рис. 2.25, и лишь весьма медленно удаляется от своего первоначального положения. [15]
Страницы: 1 2