Варьированная траектория

Cтраница 1

Варьированная траектория идет все время приблизительно параллельно первоначальной, и таким образом обе вместе образуют узкую ленту. При вариациях, которые соответствуют механическим принципам, отрезок, определяемый составляющими дх, ду, dz, лежит на элементе поверхности, соответствующем согласно уравнению ( 13) точке ( х, у, z), а тем самым и на поверхности а; при другого рода вариациях этого нет. [1]

Вариация траектории в принципе. [2]

Поэтому варьированная траектория достигает конечной точки Р не в момент t t, а в данном случае, согласно рис. 54, в более поздний момент времени. [3]

Если рассматривать варьированную траекторию как расположенную в развертывающейся поверхности а предыдущего параграфа, то условие 8 § ds дает действительную траекторию как геодезическую линию поверхности а в обычном смысле слова. Но тем самым мы сейчас же приходим к геометрическому свойству, высказанному в тексте. [4]

Таким образом, варьированная траектория jc ( t) раньше, чем в момент tv, достигает многообразия А1, и, значит, исходный процесс ( и ( t), x ( t)) не был оптимальным. Полученное противоречие доказывает существование искомой гиперплоскости Г, чем доказательство и завершается. [5]

Результирующая вариация конечной точки траектории при использовании двух игольчатых вариаций оптимального управления.| К объяснению существования отсекающей гиперплоскости в любой точке траектории. [6]

С t точки варьированных траекторий dx ( t) располагаются по одну сторону этой гиперплоскости, причем именно с той стороны, с которой к ней подходит оптимальная траектория. [7]

Но если мы хотим варьировать так, чтобы варьированная траектория удовлетворяла тем же условиям, что и первоначальная, то уравнение ( 13) должно иметь силу для двух малых, соответствующих одна другой частей обеих траекторий. [8]

Это выражение также должно быть равно нулю, если варьированная траектория является нулевой линией. [9]

В качестве нижней границы для каждого последующего интеграла выбирается то время, когда точка на варьированной траектории проходит плоскость, перпендикулярную к мгновенному направлению движения точки на предшествующей траектории в момент, который также является верхним пределом интеграла по этой предшествующей траектории. [10]

В принципе Гамильтона операция варьирования производилась для одного и того же момента времени: точке Р ( в - пространстве) на действительной траектории в момент t ставилась в соответствие точка Р на варьированной траектории соответствующая тому же самому моменту времени. Это было возможно, так как в принципе Гамильтона задаются не только концевые точки, но и соответствующие им моменты времени, так что движение по исходному и варьированному путям совершается за одно и то же время. [11]

В этом заключается принцип наименьшего действия. Таким образом, для истинной траектории действие имеет стационарное значение по сравнению с его значениями на варьированных траекториях с теми же концевыми точками ( в g - пространстве) и той же энергией. [12]

Составим теперь то же самое уравнение, но при другой точке зрения на варьирование. Мы теперь не будем больше требовать, чтобы вариации положений были виртуальными перемещениями, но мы потребуем, чтобы варьированная траектория удовлетворяла тому же самому дифференциальному уравнению ( 13), которому мы подчиняем траекторию, подлежащую варьированию. Теперь перед нами стоит совсем другая задача вариационного исчисления, из которой, вообще говоря, не вытекают действительные траектории материальной точки. [13]

Тогда для полученной новой формы не приходится вводить никаких ограничений, относящихся ко времени. Однако варьированные траектории должны всегда соответствовать одному и тому же значению W энергии. [14]

Принцип Гамильтона, рассматриваемый как вариационный принцип стационарного действия, справедлив только для голономных систем. Он обратил внимание на то, что не всякие две точки конфигурационного пространства могут быть соединены траекторией системы с неинтегрируемой дифференциальной связью. При этом, во-первых, варьированные траектории не удовлетворяют уравнениям неголономных связей, и во-вторых, уравнения движения неголономной системы не совпадают с уравнениями Эйлера вариационной задачи Лагранжа. Обсуждению этих двух вопросов посвящена обширная литература с начала двадцатого века и до настоящего времени. [15]

Страницы: 1 2