Cтраница 2
Задача установления н е п р о т и в о р е ч и в о с т н применяемых в математике исчислений является одной из гл. В паст, время эта задача решена лишь в весьма ограпич. Имея в виду охват тон пли иной содержательно определенной области математики, считают исчисление полным относительно этой области, если в нем выводима всякая формула, выражающая верное утверждение из этой области. Другое понятие полноты исчисления связано с требованием доставлять либо доказательство, либо опровержение для всякого предложения, формулируемого в исчислении. Первостепенное значение и связи с этими понятиями имеет теорема Геделя - Россера, утверждающая несовместимость требования полноты с требованиями непротиворечивости для весьма широкого класса исчислений. Согласно теореме Ге деля - Россера, никакое непротиворечивое исчисление из этого класса не может быть полным относительно арифметики: для всякого такого исчислении может быть построено верное арифметич. [16]