Cтраница 4
После этого отступления мы оставим Лежандра и посмотрим, какими путями пошло после него дальнейшее развитие преподавания геометрии во Франции. Замечательно то, что организация школьного дела во Франции в течение XIX столетия изменилась очень мало. Как и вообще во всех культурных областях, учреждения, созданные при Наполеоне I, сохранялись без изменения в течение долгого времени среди всех смен политического режима, так и в преподавании геометрии все еще почти неограниченно господствует Лежандр, если не считать того, что в постоянно возобновляемых новых изданиях его учебника ( например, 33 - е издание - в обработке Бланше - вышло в 1893 г.) происходит известная фильтрация содержания в сторону ограничения прикладных моментов, имевшихся еще у Лежандра. А именно, если у самого Лежандра искусство геометрического измерения и не занимает такого выдающегося положения, как у Клеро или тем более у Петра Рамуса, то он не обнаруживает и того пренебрежительного отношения к этому искусству, которое стало обычным впоследствии; в то же время Лежандр проявляет очень живой интерес к технике решения математических задач, к числовым выкладкам. Но все относящееся сюда все в большей и большей степени опускалось в позднейших изданиях; в частности, совершенно выпала глава, посвященная тригонометрии, которую Лежандр особенно тесно увязывал с 1упомянутыми приложениями. [46]
Казалось бы, поскольку геометрия имеет дело с более общей и несводимой к числу категорией величин, чем арифметика, она и должна была бы занять ведущее место в математике и лечь в основу теоретического фундамента общей арифметики, как ото еще отчасти имело место в универсальной математике Декарта. Валлис, однако, неоднократно подчеркивает арифметический характер общей алгебры и ее преимущества перед геометрией. Дело и том, что предмет арифметики чище и отвлеченнее, чем у геометрии, и ео рассуждения обладают большей общностью ( speculationes habet magis imiversales), в силу чего арифметика равно приложима и к геометрии и к другим дисциплинам. Говори об одном из важнейших действий алгебры - о возведении и степень, Валлис замечает, что алгебраические степени ( potestates) лучше объясняются при помощи арифметических степеней ( gradus), чем при помощи геометрических измерений ( в смысле размерности), и при этом совершенно отчетливо характеризует алгебру, как арифметическую науку. Ибо - говорит он - всеобщая алгебра является поистине арифметической, а не геометрической и разъясняется скорее при помощи начал арифметических, а не геометрических. [47]
Основным элементом чертежа является линия. Все поверхности оригинала необходимо задать на чертеже с помощью линий, поэтому фундаментальным классом задач, обеспечивающим процесс построения чертежа, являются задачи на построение общей части двух элементов. Именно взаимные пересечения элементов, инциденции обеспечивают обратимость чертежа, его полноту. Как известно, преобразование оригинала в изображение сопровождается потерей информации, поэтому множества Т и R дополняются не только правилами решения позиционных задач, но и правилами составления из элементов чертежа изображений, в которых будет сохранена необходимая информация. Фундаментальной задачей здесь являете задача геометрического измерения, а соответствующий класс задач, называемых метрическими, включает в себя отображение на чертеже перемещений оригинала в пространстве. Намеченные нами классы задач являются составными частями системы графического конструирования. В то же время каждый класс или процесс представляет собой иерархическую подсистему. [48]
Там, где есть поле, изменение от точки к точке величины о, характеризующей электромагнитное поле, полностью определяется уравнениями Максвелла. Рассмотрим теперь пространственно-подобную начальную гиперповерхность. На этой гиперповерхности рассмотрим две области ( I и II) с полем, связанные между собой областью III, свободной от электромагнитного поля. Однако охарактеризовать область II относительно области I с помощью чисто геометрических измерений, ограниченных данной гиперповерхностью, нельзя. В то же время такая относительная характеристика очень важна для каждой более поздней точки в пространстве-времени, которая может быть получена возбуждением либо области I, либо области II. В этом смысле проблема начальных значений в единой теории поля не сводится к чисто геометрической формулировке. [49]
Город, о котором идет речь, не был городом в обычном шо-нимании. Это так называемый открытый город, похожий на группу деревень, стенами которого были пустыня и горы, а цитаделя-ми - потусторонние пирамиды и храмы. Линии влияния их далеко простирались IK группам поселений и проявлялись в виде аллей для процессий, обрамленных бесконечными рядами каменных сфинксов. Центром этой симметрии служил его мысленный путь движения к жилищу бога - путь, который никогда не кончался для него и лишь терялся в таинственном мраке недоступных дворов и святилищ или открывался в утреннее небо. На этом пути он не встречал той кульминационной центральной массы, подобной пирамиде или статуе, изображавшей бога, которая служила бы непосредственной зрительной основой художественного образа. В полную противоположность этому здесь были только боковые зеркально-симметричные изваяния сфинксов, обелиски и мачты по бокам входа и одинаковые, словно отраженные в зеркале статуи фараона, расположенные в ряд по 2 - 3 с каждой стороны, разрезанные посередине входные пилоны храмов и ряды уходящих вдаль колоннад, изображающих стволы деревьев священной рощи. Такая симметрия настраивала зрителя на ожидание встречи со своего рода концептуальной массой, не поддающейся геометрическим измерениям, и вызывала в представлении образы всесильного божества, бывшего отражением сущности самого человека как социального существа, бесконечно зависимого от природы. На такое восприятие зрителя наталкивали все зеркально-симметричные формы, а ключом к нему служили встречаемые прежде других и долго сопровождающие процессию скульптурные фигуры фантастических полузверей-полулюдей. [50]