Уравнение - дуффинг
Cтраница 1
Уравнение Дуффинга ( 70) при д - 0 всегда имеет хаотические решения вблизи сепаратрисы. Хаотическое движение в этом случае происходит в узком слое и ограничено инвариантными кривыми. При 6 0 уравнение ( 70) является аналогом уравнения Дуффинга во времени с учетом диссипации и, следовательно, возможно существование стохастических аттракторов. [1]
Уравнение Дуффинга ( 29) при 5 О всегда имеет хаотические решения вблизи сепаратрисы. Хаотическое движение в этом случае происходит в узком слое и ограничено инвариантными кривыми. При 8 0 уравнение ( 29) является аналогом уравнения Дуффинга во времени с учетом диссипации и, следовательно, возможно существование стохастических аттракторов. Действительно, при 6 0 происходит разрушение инвариантных линий, ограничивающих стохастичность вблизи сепаратрисы, и фазовые траектории могут уходить от нее достаточно далеко и попасть в область притяжения устойчивого фокуса или цикла. [2]
Разумеется, поведение уравнения Дуффинга и (5.19) будут сильно отличаться друг от друга, если движение уйдет в область высоких потенциальных энергий. [3]
Применим эти результаты к уравнениям Дуффинга. Сначала рассмотрим систему из примера а. Прежде всего докажем, что при а ф О невозмущенная система невырождена. Более точно, знак второй производной d2Ho / dJ2 совпадает со знаком коэффициента а в выражении для восстанавливающей силы. Кстати сказать, при а ф О эта система тождественно вырождена. [4]
 |
Классическая резонансная кривая нелинейного осциллятора с жесткой пружиной в случае, когда колебания периодичны и имеют тот же период, что и вынуждающая гила ( а и ft определяются в уравнении. [5] |
Эта модель часто называется уравнением Дуффинга по имени изучавшего ее математика. [6]
Интересно отметить, что и уравнение Дуффинга, и уравнение Ван дер Поля изучаются уже несколько десятков лет, и тем не менее ни в одном из распространенных изданий по нелинейным колебаниям не упоминается об их хаотических решениях. В следующем разделе мы рассмотрим другие нелинейные хаотические цепи. [7]
Сравнение показателей Ляпунова при различных значениях параметров в уравнении Дуффинга проведено в табя. [8]
Полученный здесь результат аналогичен результату исследования нелинейных случайных колебаний, описываемых уравнением Дуффинга. [9]
Примерами хаотизации движений осциллятора внешними периодическими возмущениями могут быть хаотические движения в уравнении Дуффинга и осцилляторе Ван-дер - Поля. Более подробное рассмотрение этих примеров и многих других будет дано позднее - в гл. [10]
Подробно уравнение ван-дер - Поля, а также фигурирующее в задачах 5.3.1 и 7.3.1 уравнение Дуффинга, являющееся важным примером уравнения колебаний системы с одной степенью свободы с нелинейной восстанавливающей силой при периодическом внешнем воздействии, рассмотрено в книге: Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. [11]
Скачкообразный резонанс или, по терминологии Мандельштама и Папалек-си [69], резонанс 1-го рода, исследован во многих работах. Большое число работ посвящено анализу уравнения Дуффинга [20, 68, 104]; в них исследовалась частотная характеристика и If показывалось, что она имеет падающий участок. [12]
Уравнение Дуффинга ( 70) при д - 0 всегда имеет хаотические решения вблизи сепаратрисы. Хаотическое движение в этом случае происходит в узком слое и ограничено инвариантными кривыми. При 6 0 уравнение ( 70) является аналогом уравнения Дуффинга во времени с учетом диссипации и, следовательно, возможно существование стохастических аттракторов. [13]
Уравнение Дуффинга ( 29) при 5 О всегда имеет хаотические решения вблизи сепаратрисы. Хаотическое движение в этом случае происходит в узком слое и ограничено инвариантными кривыми. При 8 0 уравнение ( 29) является аналогом уравнения Дуффинга во времени с учетом диссипации и, следовательно, возможно существование стохастических аттракторов. Действительно, при 6 0 происходит разрушение инвариантных линий, ограничивающих стохастичность вблизи сепаратрисы, и фазовые траектории могут уходить от нее достаточно далеко и попасть в область притяжения устойчивого фокуса или цикла. [14]
Это же уравнение вывел Горелик [22] при изучении влияния времени полета электрона на работу электронных ламп. Можно указать и другие объекты, для которых записанное выше уравнение является достаточно хорошей математической моделью. Уравнение Минорского интересно и с точки зрения иллюстрации методов анализа колебаний в системах с последействием. В теории дифференциально-функциональных уравнений оно играет ту же роль, что и уравнение Дуффинга в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому в дальнейшем в качестве примера используется уравнение Минорского со случайными параметрами. [15]
Страницы: 1