Cтраница 1
Уравнения Зайберга - Виттена впервые появились в 1994 г. в работе Зайберга и Виттена. Эта работа была физическая, но в том же 1994 г. вышла статья Виттена, где он наметил математические применения найденных уравнений. Уравнения Зайберга - Виттена немедленно оказались в центре внимания математиков, прежде всего 4-мерных топологов, поскольку с их помощью удалось построить новые гладкие инварианты 4-мерных многообразий, которые получили название инвариантов Зайберга - Виттена. Оказалось, что они содержат ту же информацию, что и введенные ранее полиномы Дональдсона. С другой стороны, уравнения Зайберга - Виттена абелевы и потому вычислять инварианты Зайберга - Виттена удобнее и проще, чем инварианты Дональдсона. Помимо этого выяснилось, что инвариант Громова 4-мерных симплектических многообразий ( который, грубо говоря, равен числу псевдоголоморфных кривых в заданном топологическом классе) тоже может быть выражен через инварианты Зайберга - Виттена. [1]
Уравнения Зайберга - Виттена на 4-многообразиях. [2]
Уравнения Зайберга - Виттена на сим плектических 4-многообра-зиях. [3]
Прежде всего, что такое уравнения Зайберга - Виттена. Пусть X - компактное четырехмерное ориентируемое риманово многообразие, снабженное Spmc - структурой. Spmc - структура - замечательная дифференциально-геометрическая конструкция, которая, как оказалось, является адекватным инструментом для работы с четырехмерными римановыми многообразиями. [4]
В отличие от многих других уравнений, пришедших в геометрию из физики ( таких например, как уравнения дуальности Янга - Миллса), уравнения Зайберга - Виттена не инвариантны относительно изменения масштаба. [5]
Ценность уравнения Таубса заключается в том, что это не просто мнемоническая формула, а за ним стоит конкретная конструкция, которую я буду называть конструкцией Таубса, позволяющая по решению уравнения Зайберга - Виттена строить некоторую псевдоголоморфную кривую, и наоборот. Позже оказалось, что связь между уравнениями Зайберга - Виттена и псевдоголоморфными кривыми, устанавливаемая конструкцией Таубса, имеет трехмерный эквивалент, известный в теории сверхпроводимости. [6]
Ценность уравнения Таубса заключается в том, что это не просто мнемоническая формула, а за ним стоит конкретная конструкция, которую я буду называть конструкцией Таубса, позволяющая по решению уравнения Зайберга - Виттена строить некоторую псевдоголоморфную кривую, и наоборот. Позже оказалось, что связь между уравнениями Зайберга - Виттена и псевдоголоморфными кривыми, устанавливаемая конструкцией Таубса, имеет трехмерный эквивалент, известный в теории сверхпроводимости. [7]
Уравнения Зайберга - Виттена впервые появились в 1994 г. в работе Зайберга и Виттена. Эта работа была физическая, но в том же 1994 г. вышла статья Виттена, где он наметил математические применения найденных уравнений. Уравнения Зайберга - Виттена немедленно оказались в центре внимания математиков, прежде всего 4-мерных топологов, поскольку с их помощью удалось построить новые гладкие инварианты 4-мерных многообразий, которые получили название инвариантов Зайберга - Виттена. Оказалось, что они содержат ту же информацию, что и введенные ранее полиномы Дональдсона. С другой стороны, уравнения Зайберга - Виттена абелевы и потому вычислять инварианты Зайберга - Виттена удобнее и проще, чем инварианты Дональдсона. Помимо этого выяснилось, что инвариант Громова 4-мерных симплектических многообразий ( который, грубо говоря, равен числу псевдоголоморфных кривых в заданном топологическом классе) тоже может быть выражен через инварианты Зайберга - Виттена. [8]
Зайберга - Виттена с инвариантом Громова. Эта формула дает другой способ вычисления инварианта Громова. На приведенных фактах и был основан энтузиазм относительно уравнений Зайберга - Виттена. [9]
Уравнения Зайберга - Виттена впервые появились в 1994 г. в работе Зайберга и Виттена. Эта работа была физическая, но в том же 1994 г. вышла статья Виттена, где он наметил математические применения найденных уравнений. Уравнения Зайберга - Виттена немедленно оказались в центре внимания математиков, прежде всего 4-мерных топологов, поскольку с их помощью удалось построить новые гладкие инварианты 4-мерных многообразий, которые получили название инвариантов Зайберга - Виттена. Оказалось, что они содержат ту же информацию, что и введенные ранее полиномы Дональдсона. С другой стороны, уравнения Зайберга - Виттена абелевы и потому вычислять инварианты Зайберга - Виттена удобнее и проще, чем инварианты Дональдсона. Помимо этого выяснилось, что инвариант Громова 4-мерных симплектических многообразий ( который, грубо говоря, равен числу псевдоголоморфных кривых в заданном топологическом классе) тоже может быть выражен через инварианты Зайберга - Виттена. [10]