Cтраница 3
Например, говорят, что уравнение х - - у - z - - 1 0 есть уравнение мнимой сферы ( в евклидовом пространстве с системой декартовых прямоугольных координат х, yf z Разумеется, за такими словами не содержится определенного геометрического смысла, пока мы остаемся в действительном пространстве. Но единообразие терминологии удобно по формально-алгебраическим соображениям. Дело в том, что предметом теории, которой посвящена эта глава, по существу являются не столько гиперповерхности, сколько сами уравнения. В теории этих уравнений невыгодно какие-либо случаи исключать из рассмотрения, во-первых, потому, что заранее не ясно, определяет ли уравнение какое-нибудь непустое множество точек или нет; во-вторых, даже в том случае, когда оно определяет пустое множество, его левая часть может иметь какой-либо механический или физический смысл. [31]
Действительно, случаи [1], [4], [5], [6], [7], [8] дают уже знакомые нам уравнения сферы ( радиуса 1), равносторонних однополого и двуполого гиперболоидов вращения, прямого кругового конуса, параболоида вращения и гиперболического параболоида. [32]
Следует также отметить, что после формирования сплошного слоя твердого продукта шуд может также быть определена на основании уравнения сжимающейся сферы, обсуждавшегося выше. [33]
Следует также отметить, что после формирования сплошного слоя твердого продукта аууд может также быть определена на основании уравнения сжимающейся сферы, обсуждавшегося выше. [34]
Развивая этот взгляд, Скрамовский и соавторы [85] показали, что в то время как растертый пентагидрат при 120 в сухом азоте дегидратируется по уравнению сокращающейся сферы сразу до моногидрата, то при НО, 100 и 90 в точке, соответствующей составу тригидрата, на кривой появляется перегиб. При 70 на кривой вместо перегиба появляется горизонтальный участок, характеризующий задержку, или индукционный период, а при 50 реакция, по-видимому, останавливается на стадии тригидрата. Кривая дегидратации больших кристаллов при 70 не имеет точки перегиба, однако скорость имеет такой же порядок величины, что и наблюдаемая для растертого пентагидрата после остановки на стадии тригидрата. В то же время тонкодиспергированный пентагидрат, полученный осаждением спиртом, в тех же условиях быстро дегидратируется непосредственно в моногидрат. Характер этих результатов позволяет считать, что первичным продуктом дегидратации является тригидрат, а скорость дальнейшей дегидратации определяется скоростью образования ядер моногидрата. [35]
Поэтому общие тетрациклические координаты xi некоторой точки плоскости мы будем рассматривать как однородные координаты соответствующей точки сферы, причем тождество Q ( i 2 8 Х4) является уравнением сферы в соответствующей системе координат. Поэтому введение тетр ациклических координат на плоскости позволяет рассматривать плоскость, как стереографический образ сферы, отнесенной к некоторому координатному тетраэдру. [36]
Если определяющая стадия принадлежит внутренней границе раздела, то da / dt определяется произведением константы и ( 1 - а) 2 / 3 - зависимость, которая уже встречалась под названием уравнения сжимающейся сферы. [37]
Следовательно, наши последние формулы непосредственно показывают, что координаты xv х д: 3, х4 точки сферы как раз являются тетрациклическими координатами для соответствующих точек плоскости, причем эти координаты связаны уравнением сферы. [38]
Часто уравнению множества точек в планиметрии придается форма F ( х, г /) 0, где F - функция от двух переменных, а в стереометрии - F ( х, у, г) 0, где F - функция от трех переменных. Написанное выше уравнение сферы имеет такой вид, если не замечать то несущественное обстоятельство, что член г2 написан в другой части равенства. [39]
Пусть Л (, у, г) - точка конической поверхности, отличная от вершины. Подставляя эти координаты в уравнение сферы х2 y z22Rz, получаем уравнение искомой конической поверхности. Пересечение конической поверхности с плоскостью ху есть окружность. [40]
Таким образом, центральная поверхность имеет единственный центр. Соотношение (7.9) представляет собой уравнение сферы радиуса 1 с центром в начале координат. [41]
Перед решением задач рекомендуется повторить уравнения поверхностей второго порядка. Особое внимание следует обратить на уравнение сферы, параболоида, конуса и цилиндрических поверхностей с образующими, параллельными координатным осям. [42]
Очевидно, что это соотношение выполнено для всех точек сферы и только для них, и, следовательно, его можно рассматривать как запись определения сферы при помощи координат. Равенство ( 2) называется уравнением сферы в рассматриваемой системе координат. [43]
Обратно, любая точка ( л:, у, z), удовлетворяющая уравнению (), находится на расстоянии R от ( х0, yQ, z0) и, следовательно, принадлежит сфере. Согласно определению уравнение () есть уравнение сферы. [44]
Обратно, любая точка ( х, у, z), удовлетворяющая уравнению (), находится на расстоянии R от ( ха, у, г) и, следовательно, принадлежит сфере. Согласно определению уравнение () есть уравнение сферы. [45]