Cтраница 1
Уравнение Гельфанда - Левитана-Марченко для восстановления потенциала по данным рассеяния выводится так же, как в Лекции 9, однако здесь оно превращается в систему двух интегральных уравнений. [1]
Решение уравнений Гельфанда - Левитана - Марченко для безотражательных потенциалов. [2]
Для таких решений уравнение Гельфанда - Левитана легко сводится к конечной системе линейных алгебраических уравнений, которая всегда может быть решена в явном виде. Из этой системы видно, что Л - соли - тонные решения можно записать в виде рациональных функций от экспонент. [3]
Заметим, что если нас интересует лишь потенциал ( но не решение уравнения Гельфанда - Левитана), то достаточно знать только функционал и потому в выводе ( на терминал ЭВМ) данных о ядре Гельфанда - Левитана нет необходимости. [4]
В работе [2] был дан вариационный принцип, согласно которому некоторый функционал достигает абсолютного максимума в том и только том случае, когда пробная функция является решением уравнения Гельфанда - Левитана. Сам функционал дает некоторое приближение для рассеивающего потенциала. Этот вариационный принцип также может быть использован для аппроксимации решений уравнений Кортевега - де Вриза. В частности, он открывает возможность использования новых численных методов для нахождения непрерывной части решения уравнения Кортевега - де Вриза в указанном выше разбиении на солитонное решение и непрерывную часть. [5]
Такое обобщение в принципе позволяет строить рассеивающий потенциал по соответствующим спектральным данным ( данным рассеяния), используя при этом последовательность произвольных промежуточных потенциалов и соответствующие спектральные данные, полученные из уравнений Гельфанда - Левитана. Вследствие этого оказывается возможным строить конечный потенциал по начальному потенциалу методом итераций с использованием промежуточных потенциалов. Такой итерационный процесс может быть описан с помощью волновых операторов, обладающих свойствами мультипликативности, похожими на групповые или на те свойства, которыми обладают условные вероятности марковских цепей. [6]
Что касается обратной спектральной задачи, а именно восстановления функции и ( х) по спектральным данным [ R ( k) 9 рп, рп, то первый шаг состоит в решении уравнения Гельфанда - Левитана - Марченко ( 70), ядро которого дается выражением ( 71); это опять линейная задача, решением которой является функция К ( х, у) двух действительных переменных. [7]
Здесь мы изложим элементарный и частично эвристический подход к обратной спектральной задаче, который должен быть понятен читателю с минимальными математическими знаниями и опытом в этой области. Мы сконцентрируем наше внимание на основополагающих идеях и вычислительных методах, а не на строгом выводе важного уравнения Гельфанда - Левитана - Марченко. Конкретнее, мы рассмотрим задачу для скалярного уравнения Шредингера, о котором шла речь в гл. Шредингера на всей прямой с потенциалом, асимптотически стремящимся к нулю), хотя аналогичным образом можно проанализировать другие спектральные задачи, например задачу Шредингера с дополнительным линейным потенциалом ( гл. [8]
Здесь можно возразить, что мы просто заменили одну трудную задачу другой. Однако в действительности достигнуты два серьезных упрощения. Во-первых, уравнение ( 30) и уравнение Гельфанда - Левитана линейны; во-вторых, t входит в задачу только как параметр. Более того, х и с - просто числа, а b ( k) - функция, которая входит только под знаком интеграла. [9]
Наиболее очевидна возможность применения обобщенного алгоритма Гельфанда - Левитана для нахождения изменения рассеивающего потенциала при изменении спектральных данных, поскольку в алгоритм входит разность спектральных данных. Если разность спектральных данных мала, то можно надеяться, что при решении уравнения Гельфанда - Левитана (2.14) методом итераций уже небольшое число первых итераций будет давать хорошее приближение. Вскоре мы опишем вариационный принцип, который может дать более удовлетворительный ответ. [10]
Поскольку большая часть адсорбирующихся на электродах частиц представляет собой диполи или ионы, то недостаточно учитывать только размеры частиц. Аналогичная поправка к уравнению Фоль-мера приводит к уравнению ван-дер - Ваальса для двумерного газа. Отсюда следует, что введение члена, пропорционального Г2, эквивалентно изменению второго вириального коэффициента для двумерного газа. Поскольку коэффициент перед Г2 может быть как положительным, так и отрицательным, то с его помощью можно объяснить как отталкивательные, так и притягательные силы взаимодействия. Аналогичную поправку можно ввести в уравнение Гельфанда, Фриша и Лебовица, чтобы получить уравнение с двумя параметрами, с помощью которого, по-видимому, можно будет достаточно полно описать двумерную жидкость в широком интервале ее плотностей. Если адсорбция происходит в двойном слое между двумя проводящими фазами, то, по-видимому, основное значение имеет квадратичный член, так как силы зеркального изображения должны всегда оказывать влияние на межионное взаимодействие. [11]
Точно так же анализ данных Дамаскина для третичного амилового спирта с помощью описанных в работе [ 1 ] методов приводит к симметричной форме пиков. Это подтверждает то, что Дамаскин был прав, когда использовал для этой системы изотерму Фрумкина. Площадь на поверхности ртути, приходящаяся на молекулу тиомочевины, составляет возможно около 29 А2, в то время как для третичного амилового спирта она несколько больше. Так, по данным Дамаскина, предельный наклон соответствует 45 АЛ Площадь, приходящаяся на молекулу воды, по-видимому, составляет около 6 АА так что для этих систем можно было бы ожидать значений г порядка 5 - 7 и, следовательно, резко асимметричной формы кривых. Следовало бы ожидать, что уравнение Гельфанда - Фриша - Лебовица будет представлять собой предельную изотерму для случая, когда молекула растворенного вещества значительно больше, чем молекула растворителя. Это, однако, не согласуется с моделью Флори - Хаггинса [ уравнение ( 1) ], которая для n - го приведенного вириального коэффициента дает значение r / п вместо величины п, соответствующей уравнению Гельфанда - Фриша - Лебовица. Таким образом, вопрос о том, какое уравнение является более точным для этого предельного случая, остается открытым. [12]
Точно так же анализ данных Дамаскина для третичного амилового спирта с помощью описанных в работе [ 1 ] методов приводит к симметричной форме пиков. Это подтверждает то, что Дамаскин был прав, когда использовал для этой системы изотерму Фрумкина. Площадь на поверхности ртути, приходящаяся на молекулу тиомочевины, составляет возможно около 29 А2, в то время как для третичного амилового спирта она несколько больше. Так, по данным Дамаскина, предельный наклон соответствует 45 АЛ Площадь, приходящаяся на молекулу воды, по-видимому, составляет около 6 АА так что для этих систем можно было бы ожидать значений г порядка 5 - 7 и, следовательно, резко асимметричной формы кривых. Следовало бы ожидать, что уравнение Гельфанда - Фриша - Лебовица будет представлять собой предельную изотерму для случая, когда молекула растворенного вещества значительно больше, чем молекула растворителя. Это, однако, не согласуется с моделью Флори - Хаггинса [ уравнение ( 1) ], которая для n - го приведенного вириального коэффициента дает значение r / п вместо величины п, соответствующей уравнению Гельфанда - Фриша - Лебовица. Таким образом, вопрос о том, какое уравнение является более точным для этого предельного случая, остается открытым. [13]