Cтраница 1
Любое квадратное уравнение ах2 с 0 ( а 0) с действительными коэффициентами разрешимо во множестве комплексных чисел. [1]
Любое квадратное уравнение можно преобразовать в равносильное ему следующей нормальной формы: ах2 - - Ъх - - с 0, где ай0, бис - любые числа, х - неизвестное. [2]
Таким образом, любое квадратное уравнение с комплексными коэффициентами имеет, вообще говоря, два комплексных корня. [3]
Выше было показано, как решать любое линейное и любое квадратное уравнение и были выведены формулы для нахождения их корней. Что касается уравнений, степени которых выше, чем два, то были рассмотрены лишь отдельные примеры. Связано это с тем, что хотя для уравнений третьей и четвертой степеней такие формулы есть, они очень громоздки и потому применяются редко, а для уравнений пятой степени и выше таких формул нет. [4]
Доказать, что теорема Виета верна для любых квадратных уравнений, а не только для уравнений с неотрицательным дискриминантом. [5]
С введением комплексных чисел можно утверждать, что любое квадратное уравнение имеет два корня: действительные, если дискриминант положительный; действительные совпадающие, если дискриминант равен нулю; комплексные, если дискриминант отрицательный. [6]
В частности, введение комплексных чисел позволяет решать любые квадратные уравнения. Существование мнимой единицы дает возможность извлекать корни из отрицательных чисел и не требовать положительности дискриминанта. [7]
Приведенная последовательность шагов может служить программой для решения любого квадратного уравнения. [8]
Сформулируйте свойство, которым обладает, может быть, любое квадратное уравнение. [9]
В следующем пункте мы увидим, что приведенные примеры характерны: любое квадратное уравнение имеет либо два корня, либо один, либо не имеет корней. [10]
Выше было показано, как решить любое уравнение первой степени и любое квадратное уравнение и были выведены формулы для нахождения их корней. Что касается уравнений, степени которых выше, чем два, то были рассмотрены лишь отдельные примеры. Связано это с тем, что хотя для уравнений третьей и четвертой степеней такие формулы есть, они очень громоздки и потому применяются редко, а для уравнений пятой степени и выше, таких формул нет. В то же время следует отметить, что если все коэффициенты многочлена Р ( х) в уравнении ( 4) являются целыми ( или рациональными) числами, то для нахождения целых ( или рациональных) корней уравнения ( 4) можно применить теорему о целых ( или рациональных) корнях многочлена ( см. гл. [11]
Замечание 4.8. Во введении мы построили множество комплексных чисел С как расширение множества действительных чисел, в котором разрешимо любое квадратное уравнение. Может показаться, что для разрешимости уравнений более высоких степеней понадобится раз за разом расширять множество С. Однако оказывается, что больше никаких новых расширений не нужно. Корни многочлена какой угодно степени принадлежат множеству С, и, значит, новых чисел, не входящих в С, для решения не требуется. Это свойство называется алгебраической замкнутостью множества комплексных чисел. [12]
Первое, что бросается в глаза после введения комплексных чисел, это возможность разложить на линейные множители любой полином второй степени и найти решения любого квадратного уравнения. [13]
Комплексные числа вводятся в связи со следующей задачей. Известно, что действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое квадратное уравнение с действительными коэффициентами. [14]
Ваш алгоритм должен быть эффективным даже для очень больших простых чисел р, [ Решение этой задачи приводит к процедуре решения любого квадратного уравнения по модулю р, в которой обычным образом используется извлечение корней. [15]