Cтраница 1
Стохастические разностные уравнения предполагаются имеющими конечный порядок, за исключением некоторых моделей в гл. [1]
Более того, в стохастическом разностном уравнении может присутствовать полиномиальный или экспоненциально возрастающий тренд и тем не менее соответствующие коэффициенты будут состоятельно оцениваемы. Процесс у должен быть лишь ковариационно-стационарным, а не обязательно слабостационарным или асимптотически слабостационарным. [2]
III были рассмотрены различные виды стохастических разностных уравнений с одной выходной переменной, полезных при моделировании разнообразных типов временных рядов. [3]
В этой главе мы рассмотрим структуру одномерных стохастических разностных уравнений. Рассмотрим сначала разностные уравнения без экзогенных входов. В стохастическое разностное уравнение могут входить различные составляющие, такие как, например, члены авторегрессии, скользящего среднего, детерминированные функции тренда типа синусоид или полиномов с постоянными или зависящими от времени коэффициентами. [4]
Мы рассмотрим несколько аспектов моделирования временных рядов расхода воды в реках посредством стохастического разностного уравнения. Для такого исследования имеется ряд причин. [5]
В этой главе обсуждается ряд важных понятий и свойств процессов, описываемых стохастическими разностными уравнениями с аддитивным шумом, начиная с понятий слабой стационарности, ковариационной стационарности и обратимости. Рассматривается спектральное представление таких процессов, а также задачи оценки ковариаций и спектральных плотностей. Подробно изучена задача предсказания. И, наконец, рассмотрены модели с мультипликативным и дробным шумами, особое внимание уделено использованию методов прогнозирования для таких систем. [6]
Мы также подробно проанализировали гипотезу, что процессы изменения расхода воды в реках не могут описываться конечной моделью в виде стохастического разностного уравнения, а описываются моделью с дробным шумом, которая может быть представлена в виде уравнения с бесконечным числом членов скользящего среднего. [7]
Кроме традиционных вопросов точечного и интервального оценивания и общей теории оценок, в книге изложены метод стохастических аппроксимаций, многомерный регрессионный анализ, дисперсионный анализ, факторный анализ, теория оценивания неизвестных параметров в стохастических разностных уравнениях, основы теории распознавания и проверки гипотез, элементы общей статистической теории решений, основы метода статистического моделирования. [8]
Берпштейн ( [4] и [5]) независимо ввел стохастическое разностное уравнение и показал, что предельное распределение случайной величины, которая определяется этим уравнением, совпадает с фундаментальным решением уравнения Колмогорова. Гихман ( [27], [28] и [29]) осуществил программу Берн-штейна независимо от Ито и успешно построил теорию стохастических дифференциальных уравнений. [9]
В этой главе мы рассмотрим структуру одномерных стохастических разностных уравнений. Рассмотрим сначала разностные уравнения без экзогенных входов. В стохастическое разностное уравнение могут входить различные составляющие, такие как, например, члены авторегрессии, скользящего среднего, детерминированные функции тренда типа синусоид или полиномов с постоянными или зависящими от времени коэффициентами. [10]
Случай 1 не требует комментариев. Если имеет место случай 2, это указывает на то, что ни один из рассматриваемых классов моделей не соответствует заданному процессу. Возможно, процесс нестационарный и ( или) не подчиняется модели стохастического разностного уравнения конечного порядка. [11]
Мы также подробно проанализировали гипотезу, что процессы изменения расхода воды в реках не могут описываться конечной моделью в виде стохастического разностного уравнения, а описываются моделью с дробным шумом, которая может быть представлена в виде уравнения с бесконечным числом членов скользящего среднего. По нашему мнению, имеющиеся совокупности наблюдений по годам и по месяцам не подтверждают такой гипотезы. Более того, среднеквадратическая ошибка прогноза наилучшей модели с дробным шумом оказывается значительно большей, чем ошибка исследованных здесь моделей в виде конечного стохастического разностного уравнения. [12]
Рассмотрим теперь Д / о-характеристики модели дробного шума. Однако окончательный вывод о том, которой из двух ( FN или ARMA) моделей описывается процесс, должен основываться на сравнении двух моделей с подобранными параметрами. Такое сравнение описано в гл. Когда мы имеем дело со сравнительно небольшим множеством наблюдений, мы можем обычно построить удовлетворительную модель стохастических разностных уравнений, порождаемых процессом белого шума. Возможность выбора FN-модели появляется лишь тогда, когда имеется относительно большой объем наблюдений. [13]
Мы рассмотрим несколько аспектов моделирования временных рядов расхода воды в реках посредством стохастического разностного уравнения. Для такого исследования имеется ряд причин. Чисто детерминированные модели процесса осадки - сток оказались не очень удачными из-за случайного характера, свойственного переменным, влияющим на сток. Многие из существенных переменных, например геоморфологические характеристики бассейна реки, невозможно адекватно ввести в такие модели стока. Из-за сложной природы процесса, особенно в случае больших бассейнов, трудно выразить численно вклад выпавших осадков ( измеренных, единственным дождемером или даже сетью разбросанных дождемеров) в речной сток. Для вычисления коэффициентов детерминированной модели, описывающей связь входа с выходом, необходимо знание всего процесса изменения во времени таких существенных в этой задаче величин, как уровень подземных вод и. Наконец, успешное моделирование процесса расхода воды в реке посредством стохастического разностного уравнения является хорошей демонстрацией полезности методов построения моделей, изложенных в данной книге. [14]