Cтраница 1
Диференциальное уравнение первого порядка, инвариантное относительно группы переносов. Исследуем наиболее общие диферепцтшльпые уравнении, инвариантные относительно частных групп элементарного характера. [1]
Это равенство представляет диференциальное уравнение первого порядка, служащее для определения траектории. [2]
Это есть система трех совместных диференциальных уравнений первого порядка, решение которых представляет ссбой чисто математичес - ую задачу. [3]
Следует отметить, что это диференциальное уравнение первого порядка немедленно интегрируется, так как оно является уравнением с разделенными переменными. [4]
Но так как по () это выражение удовлетворяет линейному однородному диференциальному уравнению первого порядка с независимым переменным х, то его тождественное обращение в нуль следует уже из его обращения в нуль в какой-нибудь одной точке каждой из наших полос. [5]
После исключения скорости w мы получим для определения h при заданном уклонена г ( х) диференциальное уравнение первого порядка. Для г const его решение будет, конечно, наиболее простым. По своему характеру это решение будет различным в зависимости от того, является ли невозмущенное течение при заданном уклоне спокойным или стремительным ( см. § 16 гл. Не производя вычислений1, укажем лишь на важнейший их результат: при спокойном течении всякого рода возмущения равновесного состояния распространяются, постепенно затухая, и вниз, и вверх по течению, при стремительном же течении только вниз по течению. Если в последнем случае путем какого-либо насильственного вмешательства, например, путем установки поперек русла щита, возмущения течения вынуждаются распространяться вверх по течению, то это происходит всегда в виде прыжка воды, причем течение между прыжком и препятствием приобретает спокойный характер. [6]
При решении ур-ия Бернулли можно и не прибегать к указанной выше подстановке, применив метод решения линейного диференциального уравнения первого порядка, например положив у и и определяя и под условием, чтобы коэфициент члена, содержащего v, обратился в нуль. [7]
Функции A a S, о которых мы говорили в § 106 и 107, удовлетворяют определенным диференциальным уравнениям первого порядка, которые впервые дал Гамильтон в уже цитированном мемуаре. [8]
Последовательное проведение касательных или вычисление отсекаемых ими отрезков дает возможность получить кривую или кривые, выражаемые одним или несколькими диференциальными уравнениями первого порядка. [9]
В него входят, если ограничиться случаем трех переменных, величины х, у, z р, q r, s, /, которые раньше мы считали за определяющие элементы соприкасающегося параболоида, а теперь будем рассматривать, как его координаты. Мы не будем подробнее исследовать, как изменяются эти семь величин при преобразовании координат, и как, наконец, для них можно ввести симметричное однородное обозначение. Это все-таки потребовало бы некоторых вычислений; нам достаточно указать на эти вопросы, так как они аналогичны случаю диференциального уравнения первого порядка. [10]
Последние рассмотрения побуждают нас заняться изучением некоторых линий на поверхности, именно так называемых линий кривизны и асимптотических линий, связь которых с предыдущим явствует из их определения, которое мы сейчес дадим. Именно, под линиями кривизны мы подразумеваем те лежащие на поверхности линии, которые касаются в каждой точке одного из направлений главных кривизн, в то время как асимптотические линии касаются в каждой точке одной из асимптот индикатрисы. Так как в каждой точке имеются два взаимно-перпендикулярных действительных направлений главных кривизн, то ясно, что вся поверхность покрывается сетью линий кривизны, которые в каждой точке пересекаются ортогонально и следовательно образуют так называемую ортогональную сеть. В противоположность этому асимптотические линии дважды покрывают только гиперболически искривленные части поверхности, в то время как на эллиптически искривленных частях поверхности они отсутствуют. Каждое из этих семейств кривых определяется диференциальными уравнениями первого порядка, так как в каждой точке поверхности известно направление касательной. [11]