Cтраница 1
Квазилинейное уравнение переноса ( уравнения (13.47) или (13.54), см. ниже) имеет длительную историю; несколько ключевых моментов в развитии проблемы выглядели следующим образом. [1]
Выше па примере квазилинейного уравнения переноса был продемонстрирован метод теоретического исследования диссипативпых и дисперсионных свойств разностных схем, основанный на использовании дифференциального приближения. Он позволил дать разпостпо-фи-зичоскую трактовку дефектов схем, наблюдаемых при расчете разрывных и быстроперсмснных решений и естественным образом привел к построению схем нового типа ( схем с искусственной дисперсией), в которых эти дефекты в значительной степени ослаблены. [2]
В § 2 рассмотрено простейшее квазилинейное уравнение переноса и исследованы качественные особенности его решений. Введено понятие консервативности разностных схем и изложен метод псевдовязкости; на их основе построены схемы для решения данной задачи. [3]
Значит, вместо численного решения квазилинейного уравнения переноса можно численно решать уравнение ( 50) при достаточно малом к. Решения последнего уравнения гладки, и их можно находить при помощи обычных однородных разностных схем. [4]
Предварительно для наглядности рассмотрим возникающие здесь вопросы на модельном примере - квазилинейном уравнении переноса. С одной стороны, это уравнение достаточно просто и его точное решение нетрудно сконструировать. С другой - оно нелинейно и хорошо моделирует основные свойства системы уравнений газодинамики, например, возможность возникновения в решении в некоторый момент времени сильного разрыва при гладких начальных данных. [5]
Таким образом, решения рассмотренных нами задач (1.6) и ( 1.6) для квазилинейного уравнения переноса достаточно хорошо отражают свойства двух наиболее характерных решений уравнений газовой динамики - простой волны разрежения и ударной волны. [6]
Разрыв производных называют слабым разрывом решения. Слабые разрывы квазилинейного уравнения переноса распространяются по характеристикам, как и в линейном уравнении переноса. [7]
Метод функционалов дает возможность рассмотреть и случай дисперсии активной примеси, приводящий к квазилинейному и даже нелинейному стохастическому уравнению переноса. Для этого, например, в случае квазилинейного уравнения переноса записывается уравнение Лиувилля для совместной плотности концентрации и градиента концентрации. [8]
Лиувилля приводит к дифференциальному уравнению относительно плотности вероятности, если флуктуирующие поля гауссовы по всем переменным и дельта-коррелированны по времени. В некоторых случаях, используя особенности рассматриваемого квазилинейного уравнения переноса, удается получить замкнутое уравнение для средней концентрации активной примеси, усредняя непосредственно уравнение переноса. [9]
Выпи; с помощью метода дифференциального приближения для квазилинейного уравнения переноса были построены схемы с искусственной дисперисией, которые оказались более эффективными, чем обычные, при воспроизведении решений с разрывами. Профиль решения представляет собой шапочку над постоянным фоном, эволюционирующую с образованием разрыва и па асимптотической стадии, приближающуюся к прямоугольному треугольнику. [10]
Проведенный в предыдущем параграфе с помощью метода дифференциального приближения анализ некоторых разностных схем для квазилинейного уравнения переноса привел к следующим выводам разностпо-фпзпчо-ского характера. Дискретная модель среды, описываемая той или иной разностной схемой, обладает инг / тренпимиднссипигиипы-ми, и, дисперсионными спойсгаами, имеющими чисто разностное происхождение. [11]
В главе изложен метод исследования диссипативных и дисперсионных свойств разностных схем, основанный на анализе их дифференциального приближения. Построены схемы с искусственной дисперсией, обладающие большей эффективностью при расчете быстроизменяющихся или разрывных решений. В § 1 описаны свойства решения дифференциального квазилинейного уравнения переноса, которое является хорошей моделью урав-пепий газовой динамики. В § 2 на примере уравнения переноса, как линейного, так и квазилинейного, рассмотрены основные особенности метода дифференциального приближения. Описаны свойства решений уравнения Бюргерса и уравнения Кортевега - де Вриза и на этой основе проанализированы дифференциальные приближения различных схем. Теоретические выводы сопровождаются данными расчетов. В § 3 для уравнения переноса построены схемы с искусственной дисперсией и приведено их подробное исследование. Полученные результаты обобщаются в § 4 для случая уравнений газовой динамики. Приводятся примеры расчета тестовых задач. [12]