Cтраница 1
Условие равномерной сходимости ряда ( 1) на множестве X без использования понятия суммы ряда дает Коши критерий равномерной сходимости ряда. Достаточное условие равномерной сходимости ряда дается Вейерштрасса признаком. [1]
Условие равномерной сходимости ряда функций комплексной переменной гарантирует непрерывность суммы ряда и возможность почленного интегрирования этого ряда. [2]
Таким условием является условие равномерной сходимости ряда ( 1) в области С или по крайней мере во всякой замкнутой области G, целиком лежащей в области G. Это устанавливается теоремой Вейерштрасса, состоящей из двух частей. [3]
Таким условием является условие равномерной сходимости ряда ( 1) в области G или по крайней мере во всякой замкнутой области G, целиком лежащей в области G. Это устанавливается теоремой Вейерштрасса, состоящей из двух частей. [4]
В этой теореме условие равномерной сходимости ряда, получающегося из данного почленным дифференцированием, нельзя заменить просто условием его сходимости на отрезке [ а, Ь ], так как существуют равномерно сходящиеся на отрезке ряды непрерывно дифференцируемых функций, для к-рых ряды, получающиеся из них почленным дифференцированием, сходятся на отрезке, однако сумма исходного ряда либо неднффореп-цируема на всем рассматриваемом отрезке, либо дифференцируема, но ее производная не равна сумме ряда из производных. [5]
Приведем еще одно условие равномерной сходимости ряда Фурье, аналогичное условию Дини. [6]
Наконец отметим, что ряд условий равномерной сходимости ряда Фурье на отрезке [ а, Ь ] может быть получен из условий равномерной сходимости на [ О, 2л ] при помощи принципа локализации, разумно использованного в каждом отдельном случае. [7]
Итак, для того чтобы сумма сходящегося ряда непрерывных функций была непрерывной функцией, нужно на этот ряд наложить дополнительное ограничение. Таким ограничением может служить условие равномерной сходимости ряда. Обозначая через sn ( z) сумму первых п членов данного ряда ( 5), сходящегося в области О, рассмотрим разность 5 ( z) - sn ( z), которая вследствие сходимости ряда стремится к нулю при неограниченном возрастании п для любой точки г области О. [8]
Итак, для того чтобы сумма сходящегося ряда непрерывных функций была непрерывной функцией, нужно на этот ряд наложить дополнительное ограничение. Таким ограничением может служить условие равномерной сходимости ряда. [9]
Условия равномерной сходимости ряда Фурье. Мы установили условия, достаточные для сходимости ряда Фурье некоторой функции / в каждой точке. Класс функций, удовлетворяющих этим условиям, весьма широк, и даже непрерывность вовсе не необходима для представимости функции суммой всюду сходящегося тригонометрического ряда. Положение несколько изменится, если мы будем интересоваться условиями равномерной сходимости ряда Фурье. Ясно, что если функция f ( x) имеет хотя бы один разрыв, то ее ряд Фурье не может сходиться к ней равномерно, поскольку сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций всегда непрерывна. Таким образом, непрерывность функции есть необходимое ( но, конечно, не достаточное) условие равномерной сходимости ее ряда Фурье. [10]
Класс функций, удовлетворяющих этим условиям, достаточно широк. Однако приведенные условия далеки от необходимых. Например, даже непрерывность функции не является необходимой для представления ее в виде суммы ряда Фурье. Правда, ситуация несколько изменится, если интересоваться условиями равномерной сходимости ряда Фурье. Ведь, согласно общим свойствам равномерно сходящихся рядов непрерывных функций, если функция f имеет хотя бы один разрыв, то ее ряд Фурье не может сходиться к ней равномерно. [11]
Условия равномерной сходимости ряда Фурье. Мы установили условия, достаточные для сходимости ряда Фурье некоторой функции / в каждой точке. Класс функций, удовлетворяющих этим условиям, весьма широк, и даже непрерывность вовсе не необходима для представимости функции суммой всюду сходящегося тригонометрического ряда. Положение несколько изменится, если мы будем интересоваться условиями равномерной сходимости ряда Фурье. Ясно, что если функция f ( x) имеет хотя бы один разрыв, то ее ряд Фурье не может сходиться к ней равномерно, поскольку сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций всегда непрерывна. Таким образом, непрерывность функции есть необходимое ( но, конечно, не достаточное) условие равномерной сходимости ее ряда Фурье. [12]