Cтраница 1
Метрический изоморфизм), что единственным по mod 0 измеримым разбиением, к-рое крупнее по mod О всех Т - к, где е - разбиение на отдельные точки, является тривиальное разбиение, единственный элемент к-рого - все X. [1]
Так как метрический изоморфизм является линейным изоморфизмом, то, повторяя доказательство теоремы 2 § 10 гл. Z / ортонормированный и что первые k его векторов и только они единичны. [2]
Интерес к проблеме метрического изоморфизма возник после работ Неймана [23] и Неймана и Халмоша [21], где было показано, что в классе эргоди-ческих динамических систем с чисто точечным спектром полная система метрических инвариантов исчерпывается спектром. Гельфанд заметил, что результат фон Неймана может быть получен как простое следствие тривиальности второй группы когомологий спектра, который всегда является счетной абе-левой группой, с коэффициентами в S1, Казалось, что для систем с непрерывным спектром надо понять, в каком смысле спектр образует группу, ввести для нее группы когомологий с коэффициентами в группе унитарных операторов, после чего проблема изоморфизма сведется к вычислению соответствующей второй группы когомологий. [3]
Линейный изоморфизм при этом условии называется метрическим изоморфизмом ( о линейном изоморфизме см. § 10 гл. [4]
Энтропия динамической системы оказалась принципиально новым инвариантом метрического изоморфизма динамических систем, не зависящим от их спектра, что следует из того, что на классе систем со счетно-кратным лебеговским спектром энтропия может принимать любые допустимые значения. Новый инвариант позволил, таким образом, расщепить динамические системы со счетнократным лебеговским спектром на континуум инвариантных подклассов с разными значениями энтропии и, следовательно, метрически неизоморфных между собой. [5]
Чтобы убедиться в справедливости этих замечаний, достаточно установить метрический изоморфизм между евклидовой плоскостью с ее первоначальной метрикой и этой же плоскостью с ее новой метрикой. Согласно § 5 ( см. доказательство теоремы 1) мы получим метрический изоморфизм, если установим линейный изоморфизм, при котором базисы, изображенные на рис. 40 и 42, соответствуют друг другу. [6]
Очевидно, это соответствие является линейным изоморфизмом; вместе с тем оно является метрическим изоморфизмом, так как ортонормированному базису плоскости IIj соответствует базис плоскости П3, орто-нормированный в ее новой метрике. [7]
Два потока Т, и TJ в пространствах ( Q, У, Р) и ( Q, У, Р) соответственно изоморфны, если существует метрический изоморфизм S: Q-Q, такой, что TjoS SoT для всех вещественных Л Ясно, что изоморфные потоки должны иметь одну и ту же энтропию. [8]
Чтобы убедиться в справедливости этих замечаний, достаточно установить метрический изоморфизм между евклидовой плоскостью с ее первоначальной метрикой и этой же плоскостью с ее новой метрикой. Согласно § 5 ( см. доказательство теоремы 1) мы получим метрический изоморфизм, если установим линейный изоморфизм, при котором базисы, изображенные на рис. 40 и 42, соответствуют друг другу. [9]
Тем самым между L и Z / установлен линейный изоморфизм ( см. § 10 гл. Таким образом, установленный между L и L линейный изоморфизм является метрическим изоморфизмом. [10]