Cтраница 1
Устойчивость множества по Ляпунову означает, что те траектории, которые начинаются в 7 - кРестности множества при t 0 не выходят из е-окрестности, если 7 выбрано достаточно малым. [1]
Введем понятие устойчивости множества Q, связанное с этим функционалом. [2]
Сформулировать принцип сравнения для стохастической вектор-функции Ляпунова и получить условия устойчивости множеств неизолированных положений равновесия систем со случайными параметрами. [3]
Однако, их знание является необходимым, но недостаточным для выявления устойчивости мульти-фрактального множества и фрактальности структуры. [4]
Результаты предыдущего раздела, относящиеся к исследованию структуры окрестности множества Q с помощью чпакопостоянных функционалов, позволяют сформулировать общие теоремы об устойчивости множества. [5]
Когда в лекции 4 мы показали, что аттрактор Лоренца располагается в ограниченной области фазового пространства, мы доказали тем самым устойчивость множества траекторий системы Лоренца по Лагранжу. [6]
G ( / ( o) может сколь угодно близко подходить к полупрямой ( - t - К-1), что допускается и критерием Найкви ста для устойчивости множества линейных систем. [7]
Понятие устойчивости в смысле Ляпунова применяется в свойствах устойчивости инвариантных множеств. Поскольку во многих конкретных задачах, таких, как адаптивные системы управления, необходимо рассматривать устойчивость множеств, которые не являются инвариантными, возникает необходимость вводить понятие эвентуальной устойчивости. Впоследствии было признано, что несмотря на то что эвентуально устойчивое множество не является инвариантным в обычном смысле, оно является таковым в асимптотическом смысле. Данное наблюдение привело к новому понятию асимптотически инвариантных множеств с их свойствами устойчивости, которые составляют специальный подкласс инвариантных множеств. В этом параграфе вводится понятие устойчивости, называемой УИ0 - устойчивостью, которая описывает очень общий тип инвариантных множеств и свойств их устойчивости. Такое понятие, естественно, приводит нас к необходимости рассмотрения начальных значелий на плоскостях, которые критически зависят от начального момента времени, и к использованию различных топологий в определении устойчивости М0 - инвариантных множеств. [8]
Выделенные частичные положения равновесия ( называемые также равновесным движением) как бы безразличны в отношении оставшейся части переменных. При условии единственности решений исходной системы эти положения равновесия являются инвариантными множествами систем и, фактически, имеем дело с задачей устойчивости множеств. [9]
Все вышеизложенное наводит на мысль о том, что, рассматривая задачу об устойчивости нулевого решения возмущенной системы по второму методу Ляпунова, не представляется возможным конструировать системы управления для задач в общей постановке. Для построения математической модели управляемого процесса желательно использовать подход, который совмещал бы в себе основные черты классических постановок в предельном случае, но в то же время был работоспособен и в случае неединственности решений. Иначе говоря, желательно строить такие математические модели, для которых требование устойчивости или асимптотической устойчивости положения равновесия X 0 заменить требованием устойчивости множества, возможно, даже не инвариантного, причем устойчивость понимается в определенном смысле. [10]
Однако, с другой стороны, любое другое решение, соответствующее одной из замкнутых орбит, является неустойчивым. В самом деле, период решения зависит от выбора орбиты, и две точки ( х, у) - плоскости, которые при t to находятся очень близко одна от другой и принадлежат разным орбитам, окажутся в диаметрально противоположных положениях через некоторый промежуток времени. Это произойдет, как бы мало ни было различие между периодами. Но тем не менее орбиты в некотором смысле близки одна к другой. Аналогичные примеры приводят к новому понятию, называемому орбитальной устойчивостью, которое будет рассмотрено дальше в этой книге в связи с устойчивостью множеств точек. [11]