Cтраница 1
Устойчивость перманентного вращения около оси Oz дока-зывается аналогичным приемом. [1]
Вопрос об устойчивости перманентных вращений будет рассмотрен в гл. [2]
В этом именно смысле мы и будем рассматривать сначала устойчивость перманентных вращений гироскопа вокруг гироскопической оси ( расположенной вертикально), а затем устойчивость других перманентных вращений и регулярных прецессий. [3]
Переходя к явлениям движения, мы видим прежде всего, что устойчивость перманентных вращений ( с произвольной угловой скоростью) вокруг гироскопической оси, направленной вниз ( 51, 1 - произвольно) настолько очевидна, что мы не будем ее доказывать; рассмотрим поэтому, основываясь на динамическом критерии § 4 гл. [4]
В частности, показано [ Карапетян, 1981 ], что в задаче устойчивости перманентных вращений вокруг вертикали кельтских камней, движущихся на абсолютно шероховатой поверхности, возникает интересное явление частичной асимптотической устойчивости: несмотря на отсутствие активных диссипа-тивных сил имеет место не только устойчивость по Ляпунову, но и асимптотическая устойчивость по части переменных. Асимптотически устойчивые переменные являются основными для данной задачи и характеризуют отклонение оси вращения тела от вертикали. Подобного явления не возникает при движении на абсолютно гладкой поверхности. [5]
Таким образом, в случае шероховатой плоскости в отличие от гладкой имеют место следующие особенности устойчивости перманентных вращений тела: 1) устойчивость зависит от направления вращения - вращецие устойчиво только в том случае, когда главная ось ( большая или меньшая) идет впереди ( в смысле острого угла) соответствующей ( большей или меньшей) оси главной кривизны поверхности тела точке его касания с горизонтальной плоскостью [4]); 2) перманентные вращения асимптотически устойчивы при условиях ( 6) - ( 8) по отношению ко всем переменным, за исключением угловой скорости; 3) устойчивость невозможна, если центр масс тела расположен выше некоторого предела, заключенного между главными радиусами кривизны поверхности тела в точке его касания с плоскостью; 4) устойчивые равновесия ( со О, z rnin ( г. Г2) изолированы от устойчивых перманентных вращений. [6]
В этом именно смысле мы и будем рассматривать сначала устойчивость перманентных вращений гироскопа вокруг гироскопической оси ( расположенной вертикально), а затем устойчивость других перманентных вращений и регулярных прецессий. [7]
Анализ этих условий [8] показывает: если коэффициент трения и, введенный таким образом, что его размерность совпадает с размерностью со, много больше абсолютной величины угловой скорости тела, то эти условия совпадают с неравенствами ( 6) - ( 8) и гарантируют устойчивость перманентных вращений тела на шероховатой плоскости, причем последняя зависит от направления вращения, Если же х I со I, то условия устойчивости вращения тела на плоскости с трением близки ( но не эквивалентны) к ( 4), ( 5) ддя перманентных вращений тела на гладкой плоскости, и она не зависит от направления вращения. Однако даже при xlcol существует такое ( см. [8]) распределение масс тела, когда устойчивость будет зависеть от направления вращения п эта зависимость аналогична соответствующей зависимости для случая шероховатой плоскости. Таким образом, теоретически возможна диаграмма устойчивости, приведенная в работе [3], посвященной численному исследованию устойчивости вращения тела на плоскости с малым вязким трением. [8]
Если вращение происходит вокруг наибольшей оси инерции ( А В С), то при К2 1 / А имеем знакоопределенность формы ( 24) на ( 25), а следовательно, устойчивость вращения по отношению к соответствующему этому выбору Я2 подсемейству ( 21) по переменным р, q, г. Аналогично устанавливается, что при ( С В А) 2 1 / С имеется устойчивость перманентного вращения вокруг наименьшей оси инерции. В случае вращения тела вокруг средней оси инерции ( ВАС) квадратичная форма ( 24) будет знакоопреде-ленной на ( 25) при 1МЯ21 / СГ. [9]
Исследована орбитальная устойчивость периодических движений в некоторых механических системах с соударениями. В задаче об устойчивости перманентного вращения тела вокруг вертикали при наличии его соударений с абсолютно гладкой горизонтальной плоскостью обнаружена [93] своеобразная квантованность областей устойчивости и неустойчивости по высоте подскока тела над плоскостью. [10]
В общем случае одномерные многообразия перманентных вращений тела на гладкой и шероховатой плоскостях пересекаются только в отдельных точках, отвечающих положениям равновесия, одинаковым в обоих случаях. Таким образом, от характера взаимодействия тела с плоскостью зависит не только устойчивость перманентных вращений, но и сам их вид. [11]