Cтраница 1
Изучение колец с использованием присоединенного умножения открывает новые возможности для развития теории. [1]
Ософская [304] свела изучение гиперцикличеоких колец с артиновым факторколщом по радикалу Джекобсона к изучению Цокальных гип ер циклических колец. Имеется некоторая информация и о строении последних. [2]
Эти факты являются основой для изучения колец СИ ( X) методами Х - тео-рии. [3]
Большое количество примеров трансаннулярных перегруппировок открыто в связи с изучением больших колец и конденсированных циклических систем. Особенно интересны траисаннулярные перегруппировки типа Вагнера - Меервейна, когда мигрирующей группой является водород. Сделано предположение ( протекание реакции подразумевается), что обычно 1 2-сдвиги в значительной степени зависят от благоприятного геометрического расположения и необязательно связаны с какими-либо внутренними электронными преимуществами в трехчленном циклическом переходном состоянии. Пока имеется лишь небольшое количество примеров трансаннулярных миграций, но изучение явления, несомненно, приведет к открытию большего количества примеров. [4]
Эта форма замкнута ( она рассматривалась в § 1 при изучении кольца когомологий пространства СР), поэтому многообразие СРП кэлерово. [5]
Из сказанного очевидно, что полярографический метод может быть с успехом использован для изучения различных келатных колец. [6]
Кажется, что, кроме этого применения теоремы 1.3, трудно использовать какие-либо результаты о дистрибутивных модулях для изучения собственных колец элементов произвольных колец с дистрибутивной решеткой делителей. Поэтому в дальнейшем мы будем налагать на рассматриваемые кольца дополнительные условия; большинству этих условий удовлетворяют свободные алгебры. [7]
Эта связь произвела глубокое воздействие на оба направления; в настоящем изложении мы подчеркиваем ту помощь, которую оказали геометрические методы в изучении колец. Хотя для получения этими методами конкретных результатов бывают нужны различные ограничения на кольца, имеется одно общее-кольца должны быть коммутативными. [8]
Пенициллины и другие соединения, содержащие азетидиновые кольца как части конденсированных циклических систем, не рассматриваются в настоящей главе; однако получение и реакции моноциклических азетидинонов, обсуждаемые здесь, имеют близкое отношение к изучению р-лактамного кольца пенициллина. [9]
Пенициллины и другие соединения, содержащие азетидиновые кольца как части конденсированных циклических систем, не рассматриваются в настоящей главе; однако получение и реакции моноциклических азетидинонов, обсуждаемые здесь, имеют близкое отношение к изучению р-лактамного кольца пенициллина. [10]
Изучение демонтированных колец показало, что резина после эксплуатации сохранила свои физические свойства. [11]
Теорема Биркгофа [1] о разложимости любой абстрактной алгебры в под-прямое произведение далее неразложимых сомножителей относится к классу всех алгебр, хотя в некоторых случаях желательно иметь аналогичную теорему для более узких или для более широких классов. Например, при изучении колец без делителей нуля или колец, вложимых в тело, естественно рассматривать разложения в подпрямые произведения колец только тех же классов. Непосредственно теоремой Биркгофа такие случаи не охватываются, так как фактор-кольца от вложимых колец, например, могут не быть вло-жимыми. В настоящей заметке указывается довольно широкая система классов, внутри которых теорема, аналогичная теореме Биркгофа, заведомо имеет место. [12]
Так как рассматриваемый идеал состоит из кратных одного числа а, то он называется главным идеалом. Мы вернемся позднее к этому понятию, с которым мы встретимся снова при изучении кольца многочленов. [13]
В рамках системы целых чисел без какого бы то ни было ограничения разрешается производить только операции сложения, вычитания и умножения; от деления приходится отказаться. Такая область называется областью целостности, или кольцом. Поскольку понятие целого числа характерно для всей теории чисел, можно утверждать, что теория чисел занимается изучением колец, а не полей. Многочлены от одной прямой, или неизвестной х, также образуют область, названную нами кольцом. Коэффициенты многочлена могут быть при этом ограничены заданным числовым полем или кольцом. Алгебра не интерпретирует аргумент х как переменную, непрерывно изменяющуюся в некотором интервале. Алгебра рассматривает аргумент как пустой символ11, позволяющий слить коэффициенты многочлена в единое выражение, естественно определяемое правилами сложения и умножения. Утверждение о равенстве многочлена нулю означает в алгебре скорее то, что все его коэффициенты равны нулю, чем то, что он принимает нулевое значение при всех значениях независимой переменной. Называя отображение точным, я имею в виду, что оно сохраняет все рациональные отношения, представимые в терминах основных операций - сложения, вычитания и умножения. [14]
Впрочем, обычно дают ответ, сохраняя его в виде многочлена от X. Единственность результата обеспечена свойствами векторных пространств; в дальнейшем мы сможем доказать эту единственность и непосредственно. Для нас здесь наибольшую важность представляет возможность этих вычислений, не имеющая исключений. Тут же нужно сделать два важных замечания: 1) многочлены от х и X имеют одинаковую степень, причем члены наивысшей степени имеют одинаковую степень, причем члены наивысшей степени имеют даже равные коэффициенты; 2) членом степени О является всегда число, получающееся, если заменить в многочлене Р неизвестное х числом а и выполнить над числами действия, которые были указаны для одночленов. Полученное таким образом число называется числовым значением многочлена при замене буквы х числом а. Числовые значения, соответствующие многочленам, столь важны для изучения многочленов, что мы будем их исследовать уже сейчас, прежде чем продолжать изучение кольца многочленов и определять в нем деления. [15]