Cтраница 1
Единственное утверждение, которое можно сделать, сводится к тому, что упрядочение сплава приводит к изменению магнитных и иных свойств, которые могут значительно отличаться от свойств неупорядоченного сплава. [1]
Это единственное утверждение, которое не имеет аналога в случае симметрических форм. [2]
В следующем далее изложении рекурсивной арифметики мы показываем, что логику и арифметику можно строить одновременно в исчислении равенств со свободными переменными, в котором единственными утверждениями являются равенства вида а bt где а и & означают функциональные выражения. С помощью этого исчисления равенств можно построить логику и арифметику с самого начала, с полной строгостью и со всеми деталями на значительно более элементарном уровне, чем было возможно до сих пор, и есть надежда, что первая половина этой книги окажется до Ступной первокурснику университета, специализирующемуся по математике. [3]
Кстати сказать - заметил Шалтай-Болтай - если мы примем дополнительно два допущения о том, что Эпименид - единственный критянин и что высказанное им утверждение - единственное утверждение, когда-либо сделанное им за всю жизнь, то действительно получим парадокс. [4]
Обсуждения связаны с доказательством того, что гипотезы ведут к некоторому заключению. Доказательством может быть единственное утверждение это очевидно или последовательность промежуточных утверждений, каждое из которых служит гипотезой для получения следующего утверждения. Однако последнее утверждение не может быть слабее, чем утверждение это очевидно, потому что если кто-то начнет объяснять, почему это очевидно, то объяснение может привести в конце концов к новой последовательности утверждений типа это очевидно. В каждом утверждении высказывания согласуются или не согласуются. В первом случае эксперимент продолжается, во втором - заканчивается. [5]
Однако это противоречит закону сохранения энергии. Следовательно, остается принять единственное утверждение, что внутренняя энергия есть функция состояния, а для ее элементарного изменения в процессе использовать символ dU - символ полного дифференциала в отличие от изменения работы в элементарном процессе, где мы используем общий символ бесконечно малых величин 8, отмечая при этом, даже при написании, что работа не есть полный дифференциал, и что, не являясь функцией состояния, она зависит от пути процесса. [6]
Лучший способ выражения альтернатив в процедуре заключается в их раздельном описании в виде отдельных утверждений. Есть, однако, и иной способ их выражения с помощью единственного Утверждения. [7]
Под влиянием каждого отдельного столкновения происходит очень малое отклонение частицы от ее макроскопической траектории. Если мы не хотим входить в детали динамики системы многих частиц, то единственное утверждение, которое можно высказать относительно столкновений, заключается в том, что они весьма многочисленны и чрезвычайно нерегулярны как по своей силе, так и по направлению. Вопреки первому впечатлению, это утверждение ни в коем случае не является ни негативным, ни обескураживающим. Напротив, если мы готовы отказаться от детерминизма в описании процесса, то это утверждение дает нам необходимую основу для применения закона больших чисел и теории вероятностей. Аналогично мы не можем предсказать скорость или положение броуновской частицы в каждый момент времени t, но можем предсказать средний результат большого числа экспериментов, выполненных в одинаковых условиях. Следовательно, весь подход к решению уравнения (11.2.2) отличается от традиционной детерминированной начальной задачи для дифференциального уравнения. Уравнение (11.2.2) является типичным ( и знаменитым) представителем класса так называемых стохастических ( или случайных) уравнений движения. [8]
Под влиянием каждой отдельной флуктуации, вызванной изменением условий взаимодействия отдельных частиц со средой, происходит малое отклонение скорости роста от ее среднего значения. Если мы не хотим входить в детали динамики взаимодействия системы многих частиц со средой ( раствором), то единственное утверждение, которое можно высказать относительно флуктуации, заключается в том, что они весьма многочисленны и чрезвычайно нерегулярны по своей величине. Это утверждение дает нам необходимую основу для применения закона больших чисел и теории вероятностей в описании процесса. Аналогично мы не можем предсказать скорость роста или объем кристалла в каждый момент времени т, но можем предсказать средний результат большого числа экспериментов, выполненных в одинаковых условиях. Уравнение (3.1) является типичным представителем класса так называемых стохастических ( или случайных) уравнений и относится к теории стохастических процессов. [9]
Ограничиваясь конкретными терминами, традиционный способ мышления избегает этого разделения. Но ему дорого приходится платить за эту величайшую простоту Если не проводить различия между мышлением и реальностью, то каким образом можно отличить истину от лжи. Единственное утверждение, от которого можно отказаться, - это утверждение, не согласующееся с существующей традицией. Традиционные взгляды должны приниматься автоматически, поскольку не существует критерия для отказа от них. Кажущееся положение вещей является существующим: традиционный способ мышления не может взглянуть глубже. Он не может установить причинные взаимосвязи между различными событиями, поскольку они могут оказаться истинными или ложными. Если бы они были ложными, значит, существовала бы реальность, отличная от нашего мышления, и само основание традиционного способа мышления было бы подорвано. А если мышление и реальность должны считаться идентичными, то всему должно быть объяснение. Существование вопросов без ответа разрушило бы единство мышления и реальности точно так же категорически, как существование верных и неверных ответов. [10]
Возникает вопрос, каким является истинное основное состоя ние, если указанное условие не выполняется. А - В) значительно слабее, чем оба внутриподреше точных взаимодействия. Тогда можно ожидать, что в каждой и подрешеток по отдельности практически независимо будет возни кать антиферромагнитное упорядочение. Это приводит к тому, что в каждой из подрегаеток возникает антиферромагннтное упорядочение, характеризующееся своей температурой Нееля. Если же взаимодействием А - В пренебречь нельзя ( или если оно по крайней мере сравнимо с одним из внутриподрешеточных взаимодействий), задача нахождения основной спиновой конфигурации существенно усложняется. Единственное утверждение, которое можно сделать с уверенностью, заключается в том, что структура должна соответствовать некоему компромиссу между ферримагнитным упорядочением неелевского типа и независимым антиферромаг-яитным упорядочением подрешеток. Следовательно, можно предполагать, что спины не останутся коллинеарными, а будут определенным образом наклонены по отношению друг к другу. Такое решение задачи зависит не только от относительной величины взаимодействий, по и от топологии подрешеток. [11]