Cтраница 1
Фактор-отображение как бы склеивает точки последовательности, образующей один класс эквивалентности. На рис. 20 показан процесс такого склеивания. Наделив фактор-множество X / R фактор-топологией относительно отображения р, получим фактор-пространство, гомеоморфное окружности. [1]
Естественное фактор-отображение q: X - X / E Y открыто. В самом деле, пусть множество A cz X открыто; тогда множество q - lq ( A) также открыто, ибо оно получается присоединением к А нескольких изолированных точек пространства X, и, следовательно, множество q ( A) a Y также открыто. Легко видеть, что У - хаусдорфово пространство. [2]
Сужение фактор-отображения ТР - - ТР ( Мп) на произвольное пространство ТР ( иа, фа) устанавливает между ТР ( иа, Фа) и ТР ( Мп) взаимно однозначное соответствие. Поэтому множество ТР ( Мп) вполне определяется пространством ТР ( ма, Фа) и на ТР ( Мп) можно перенести структуру линейного пространства. [3]
Очевидно, что фактор-отображение нсегда иадъектинпо. [4]
Замечание 1.1. Поскольку сужение фактор-отображения на подмножество л ( Х / к) очевидно, является непрерывным п обратным к s отображением, то сечение s является гомеоморфизмом на свой образ. [5]
Выше уже отмечалось, что всякое фактор-отображение является взаимно непрерывным. Более тесная связь между такими отображениями описывается п следующем предложении. [6]
Из самого определения фактор-топологии следует, что любое фактор-отображение р: Х - X / R взаимно непрерывно. [7]
Применяя ( с) к соответствующим примерам фактор-отображений, покажите, что сужения наследственно факторных отображений на открыто-замкнутые подмножества области определения, декартовы произведения двух наследственно факторных отображений и сужения диагоналей ( см. упр. [8]
Пусть p: S - Rp есть сужение па S фактор-отображения p: R l - Rp, которое, очевидно, сопоставляет каждой точке сферы 5 проходящую через псе проколотую прямую. [9]
Поскольку, как уже отмечалось, фактор-топология является финальной топологией, порожденной фактор-отображением, то паше шержденпе является частным случаем свойства транзитивности финальных топологий. [10]
В таком случае оператор С у на В у удовлетворяет условию С уил илС, где LO: В - В у - фактор-отображение. [11]
Поскольку / - непрерывное п нядъектнипое отображение, то его факторизация h XlRf - Y б гдет биективным п непрерывным Отображением. Рассмотрим фактор-отображение р: Х - - Х / К /, ко-торое по самому определению фактор-топологии является взаимно прерывным. [12]
Поскольку функтор Н является левым сопряженным, то он сохраняет копределы. В частности, копроизведе-ние в Haus совпадает с копроизведением в Тор ( поскольку копро-изведение хаусдорфовых пространств хаусдорфово), а коуравнитель в Haus - это наибольшее хаусдорфово фактор-отображение для ко-уравнителя в Тор. [13]
Пусть отображение f: P - Q невырожденно и полиэдр Р компактен. Для произвольного замкнутого полиэдра Р0 с: Р рассмотрите множество P / f Pt, получающееся отождествлением точек х е Р0 и у е Р0, для которых f ( x) - f ( y) - Покажите, что множество P / f Ip, может быть так наделено структурой абстрактного полиэдра ( см. упражнение 2.27 ( 3)), что фактор-отображение л: P-P / f P, будет кусочно линейным. [14]
X, XiRx2, если точки хг и х2 принадлежат одному элементу разбиения D. Элементы множества D называют классами эквивален т н ости. Множества, элементами которого являются классы эквивалентности, порожденные в X отношением эквивалентности R, называют фактор-множеством и обозначают X / R. X класс эквивалентности, содержащий этот элемент, называют фактор-отображением или отображением отождествления. [15]