Cтраница 1
Факторполугруппа П 5 / / ст обозначается IIySf и называется свободным произведением амальгамы [ St; U; фг ] или свободным произведением полугрупп Si с объединенной подполугруппой U. При U0 свободное произведение амальгамы превращается, очевидно, в обычное свободное произведение. [1]
Перемножая р-классы в факторполугруппе 5 / р, точку обычно не пишут. Как правило, из контекста бывает ясно, в каком смысле понимается произведение. Может, впрочем, оказаться, что оба смысла совпадают для любых двух р-классов; конгруэнцию р с таким свойством называют совершенной. Полугруппа, в которой все конгруэнции совершенны, называется совершенной. Класс совершенных полугрупп гомоморфно замкнут и включает в себя все вполне простые и вполне 0-простые полугруппы ( Фортунатов В. А. / / Изв. [2]
S ], для любого у факторполугруппа Лу / Лу есть аннулятор [ левый аннулятор, правый аннулятор ] факторполугруппы S / Лу, а на предельных местах стоят объединения предыдущих членов. [3]
Тогда М / Х ( - М / /), где М /) обозначает факторполугруппу Риса. В самом деле, отображение mi - - ( ф ( т), т), где т есть образ элемента m e AI в M / J, является инъективным гомоморфизмом. [4]
В этой же работе исследованы свойства полугруппы, связанные с ее коммутантом - наименьшим ее идеалом, факторполугруппа по которому коммутативна; в частности, рассмотрены разрешимые полугруппы - аналог разрешимых групп. Изучаются также полугруппы, все подполугруппы которых являются идеалами, а также более широкий класс полугрупп, в которых каждая собственная подполугруппа отлична от своего идеализатора. [5]
S ], для любого у факторполугруппа Лу / Лу есть аннулятор [ левый аннулятор, правый аннулятор ] факторполугруппы S / Лу, а на предельных местах стоят объединения предыдущих членов. [6]
Для любого алфавита Л и любого множества S формальных равенств слов над Л существует полугруппа с копредставлением Л Б; такой полугруппой является факторполугруппа Л / Р где рЕ определено в начале этого пункта. [7]
Наиболее ясное представление о строении конечного ниль-простого моноида М дает следующее условие, равносильное ( как нетрудно доказать) условию ( b): S Af l есть полугруппа, содержащая ицеал /, являющийся вполне простой полугруппой, факторполугруппа Риса по которому S / / ниль-потентна. [8]
А, то среди факторполугрупп полугруппы А, имеющих в качестве элемента класс /, существует максимальная фактор-полугруппа All ( наз. [9]
Тогда Т становится полугруппой, называемой идемпотентным расширением S при помощи полугрупп А. Ясно, что 5 7, причем факторполугруппа T / S есть ортогональная сумма полугрупп А; если положить Q А, и Af / при / Ф е, то Т будет расширением S при помощи Q. [10]
В этом случае говорят также, что S разложима в связку полугрупп Sa. Другими словами, S есть С. Sa, если все Sa - подполугруппы в S и существует конгруэнция р на S такая, что р-классы суть в точности Sa. S определяет разложение S в связку тогда и только тогда, когда факторполугруппа 5 / р - полугруппа идемпотептов. [11]
S существует такое натуральное число п, что an SbS. Для коммутативных полугрупп все эти понятия эквивалентны. Любая коммутативная полугруппа S единственным образом разложима в связку А. Полугруппа S с идемпотентом будет архимедовой ( архимедовой справа) тогда и только тогда, когда она обладает ядром К, причем К содержит идемпотент ( К есть правая группа), а факторполугруппа Риса ( см. Полугруппа) S / K есть нилъполу группа. [12]
Основные понятия ( равно как и результаты) здесь в значительной степени параллельны соответствующим теоретико-кольцевым и естественнее всего оформляются для полугрупп с нулем. Отправным является следующее понятие. Если р - радикал, то полугруппа S называется р-радикальной [ р-полу-простой ], если p ( S) S [ p ( S) Oj. Здесь рисовским подпрямым произведением называется подпрямое произведение, у которого ядро каждого проектирующего гомоморфизма есть конгруэнция Риса. Всякий радикал является либо наднильпотентным, либо подыдемпотентным. Если р - радикал, то идеал p ( S) часто называют р-радикалом полугруппы S. Для тех или иных конкретных р соответствующие р-радикалы имеют особые названия. Перечислим некоторые из них, рассматривавшиеся в литературе ( см., например, Вosak J. Радикал Маккоя M ( S) - пересечение всех первичных идеалов полугруппы S; этот радикал совпадает с радикалом Бэра В ( 5) - наименьшим среди идеалов S, факторполугруппы Риса по которым не имеют ненулевых нильпотентных идеалов. [13]