Cтраница 1
Факторпространство пространства X х / X У по этому отношению эквивалентности называется джойном ( или джойн-произведением) пространств X и У и обозначается символом Х У. [1]
Z Факторпространство пространства V по Wa ( R) компактно; если Л неприводима, то фундаментальной областью для Wa ( R) будет симплекс. [2]
Подпространства и факторпространства полунормируемых пространств полунормируемы. Подпространства и факторпространства по замкнутым подпространствам нормируемых пространств нормируемы. [3]
Очевидно, факторпространства связных пространств всегда связны. [4]
Через LE L ( T, JLI) обозначаем факторпространство пространства J E по подпространству пренебрежимых функций. [5]
В заключение этого параграфа я хотел бы кратко обсудить классификацию замкнутых многообразий, представимых как факторпространство пространства Е3 по свободному действию группы изометрий. Это и есть в точности замкнутые плоские трехмерные многообразия. Как мы только что видели, любое такое многообразие М представимо в виде слоения Зейферта, и я рассмотрю классификацию с этой точки зрения. [6]
Положим L - СН; L есть замкнутая подгруппа группы Gr содержащая С и Я; для доказательства того, что множества Ф ( sL) 8ф ( L) служат связными компонентами группы G / H, достаточно показать, что факторпространство пространства G / H по отношению эквивалентности, классами которого являются множества 5ф ( L), вполне несвязно. Но ] это факторпространство гомео-морфно однородному пространству GIL ( глЛ, § 3, предложение 7), и вопрос сведен, таким образом, к доказательству того, что если С с: Я, то GIH вполне несвязно. Так как G / H отождествимо тогда с ( G / C) / ( H / C) ( § 2, предложение 22), то можно считать, что сама группа G вполне несвязна. Всякая окрестность ф ( е) в GIH содержит окрестность вида ф ( ТО, где V - окрестность е в G, значит ( следствие 1) она содержит окрестность вида ф ( К), где К - открытая и компактная подгруппа группы G; ф ( К) будет тогда открыто-замкнуто в G / H, чем показано, что связная компонента точки ф ( е) в G / H сводится к этой точке; посредством переноса заключаем, что то же справедливо для связной компоненты любой точки из СУЯ, чем завершается доказательство следствия. [7]
Второе представление нашего-испытания имеет некоторые преимущества перед первым, поскольку оно вложено в пространство с хорошо изученной богатой математической структурой. Используемое в этом представлении вероятностное пространство является, как мы увидим в следующем разделе, факторпространством пространства Лебега. [8]
Вероятностный закон, которому подчиняется развитие случайного процесса, задается совместными вероятностными распределениями случайных величин, образующих этот процесс. Если х - случайная величина на пространстве Лебега ( Q, У, Р), то ее пространством распределения ( distribution space) называется факторпространство пространства Q по разбиению х - 1 ( к), где е - это точечное разбиение. Как отмечалось в разд. [9]
Напомним, что непрерывное отображение f: X - - Y назы -, вается накрывающим, если у всякой точки / У существует такая окрестность U, что прообраз f - 1 ( U) является дизъюнктным объединением множеств VK, Я е Л, таких что каждое ограничение /: Vi - - U есть гомеоморфизм. Если X и У - орбиобразия и /: X - Y - отображение орбиобразий, то накрывающее отображение орбиобразий определяется таким же образом, за исключением того, что отображению /: V - - U разрешается быть естественным факторотображением двух факторпространств пространства R по действию конечных групп, одна из которых является подгруппой другой. Таким образом, если группа G действует собственно-разрывно диффеоморфизмами гладкого многообразия М и Н - ее подгруппа, то естественное отображение М / Я-v M / G будет накрытием орбиобразий. В частности, проекция M - M / G является накрытием орбиобразий. Заметим, что накрытие орбиобразий не обязано быть накрытием подстилающих пространств. На самом деле пространство M / G может быть односвязным, как в случае факторпространств 52, Е2 или Н2 по действию групп треугольников. [10]
Пусть X -правое G-пространство, a Y - левое G-пространство. Иными словами, XXoY есть факторпространство пространства XxY по следующему отношению эквивалентности: для любых фиксированных хеХ, г / eF, g Gточки ( xg у) и ( х, gy) эквивалентны. [11]