Cтраница 2
Далее, мы воспользуемся тем, что фактически подстановка в формулу с номером т вместо именной формы с номером k будет производиться только тогда, когда формула g содержит в качестве составной части какой-либо вариант этой именной формы или же она сама является ее вариантом. Если в каком-либо входящем в формулу g варианте этой именной формы каждую ( свободную или связанную) индивидную переменную и каждую цифру заменить переменной с номером 2р2т, то рассматриваемая формульная переменная будет иметь только такие аргументы, номера которых не меньше 2р2т и, следовательно, больше номеров аргументов именной формы. [16]
Подстановка вместо формульной переменной с одним или несколькими аргументами производится с помощью так называемой именной формы. Именной формой какой-либо формульной переменной, имеющей аргументы, называется элементарная формула, состоящая из той же самой формульной переменной с попарно различными свободными индивидными переменными в роли аргументов; эти переменные в рассматриваемой ситуации мы называем аргументными переменными данной именной формы. [17]
Именная форма для формульной переменной с аргументами состоит из формульной переменной, аргументами которой являются одни только попарно различные свободные индивидные или свободные функциональные переменные. Вариантом данной именной формы мы будем называть выражение, получающееся из этой именной формы в результате замены любой ее индивидной переменной каким-либо квазитермом и любой функциональной переменной - каким-либо квазифункционалом. Заменителем для данной именной формы является формула, содержащая все аргументные переменные этой именной формы. [18]
Из переменных, констант, функциональных и предикатных символов с помощью скобок (, ), запятых и логических символов, - i, &, V, D, , V, 3 строятся выражения, называемые термами и формулами. При этом термы играют роль имен и именных форм, а формулы - роль высказываний и высказывательных форм. [19]
Теперь подстановка производится следующим образом. Сначала указывается формула, которая будет подставляться вместо именной формы; эта формула - мы будем кратко называть ее заменителем-должна содержать аргументы именной формы. Затем отыскиваются все вхождения в формулу g таких выражений, которые либо совпадают с именной формой, либо отличаются от нее тем, что вместо некоторых из аргументов именной формы или вместо каждого из них в качестве аргументов стоят другие квазитермы; выражения такого рода мы будем кратко называть вариантами этой именной формы. [20]
Сначала напомним, что для выполнения такой подстановки мы должны взять какую-либо именную форму J) той формульной переменной, вместо которой будет производиться подстановка. Все свободные индивидные переменные, являющиеся аргументами этой именной формы, отличны друг от друга; кроме того, иногда бывает нужно, чтобы они отличались еще и от некоторых индивидных переменных той формулы, в которую производится подстановка. [21]
Далее, мы воспользуемся тем, что фактически подстановка в формулу с номером т вместо именной формы с номером k будет производиться только тогда, когда формула g содержит в качестве составной части какой-либо вариант этой именной формы или же она сама является ее вариантом. Если в каком-либо входящем в формулу g варианте этой именной формы каждую ( свободную или связанную) индивидную переменную и каждую цифру заменить переменной с номером 2р2т, то рассматриваемая формульная переменная будет иметь только такие аргументы, номера которых не меньше 2р2т и, следовательно, больше номеров аргументов именной формы. [22]
Именная форма для формульной переменной с аргументами состоит из формульной переменной, аргументами которой являются одни только попарно различные свободные индивидные или свободные функциональные переменные. Вариантом данной именной формы мы будем называть выражение, получающееся из этой именной формы в результате замены любой ее индивидной переменной каким-либо квазитермом и любой функциональной переменной - каким-либо квазифункционалом. Заменителем для данной именной формы является формула, содержащая все аргументные переменные этой именной формы. [23]
Таким образом, в этом случае в качестве аргументной переменной нужно взять какую-нибудь индивидную переменную, отличную от а. Такого рода требованиям мы удовлетворим с запасом, если в качестве аргументных переменных именной формы будем брать такие, которые вообще не входят в формулу %, в которую производится подстановка. [24]
Любой основной тип как терм с определенным образом обозначенными аргументными переменными может играть роль именной формы, и заменяющая функция для такого терма может быть задана в виде функционального знака, аргументы которого совпадают с аргументными переменными этого основного типа. [25]
Для задания подстановки в данную формулу вместо данной формульной переменной с аргументами нужно для какой-либо именной формы этой формульной переменной указать некоторый заменитель. Выполнение подстановки в этом случае заключается в том, что всюду, где в данной формуле встречается какой-либо вариант рассматриваемой именной формы, этот вариант заменяется тем выражением, которое получается из указанного заменителя при помощи тех же самых замен, в результате которых этот вариант получается из рассматриваемой именной формы. [26]
Теперь подстановка производится следующим образом. Сначала указывается формула, которая будет подставляться вместо именной формы; эта формула - мы будем кратко называть ее заменителем-должна содержать аргументы именной формы. Затем отыскиваются все вхождения в формулу g таких выражений, которые либо совпадают с именной формой, либо отличаются от нее тем, что вместо некоторых из аргументов именной формы или вместо каждого из них в качестве аргументов стоят другие квазитермы; выражения такого рода мы будем кратко называть вариантами этой именной формы. [27]
Но в этой процедуре кроется и еще одно неблагоприятное обстоятельство, которое ведет нас к очередной - последней - модификации операции замены. В самом деле, при комбинированном применении нескольких функциональных замен мы встречаемся с трудностью, заключающейся в том, что один и тот же е-терм может происходить от различных именных форм и что вследствие этого замена такого терма оказывается неоднозначной. Поэтому между значениями различных функций, входящих в состав какой-либо замены, могут иметь место определенные соотношения в виде равенств, выражающих те или иные условия, и эти равенства должны нами учитываться при подборе соответствующих функций. [28]
Подстановка вместо формульной переменной с одним или несколькими аргументами производится с помощью так называемой именной формы. Именной формой какой-либо формульной переменной, имеющей аргументы, называется элементарная формула, состоящая из той же самой формульной переменной с попарно различными свободными индивидными переменными в роли аргументов; эти переменные в рассматриваемой ситуации мы называем аргументными переменными данной именной формы. [29]
Для задания подстановки в данную формулу вместо данной формульной переменной с аргументами нужно для какой-либо именной формы этой формульной переменной указать некоторый заменитель. Выполнение подстановки в этом случае заключается в том, что всюду, где в данной формуле встречается какой-либо вариант рассматриваемой именной формы, этот вариант заменяется тем выражением, которое получается из указанного заменителя при помощи тех же самых замен, в результате которых этот вариант получается из рассматриваемой именной формы. [30]