Cтраница 2
Рассмотрим множество 3R ( вообще говоря, бесконечное) формул исчисления высказываний. [16]
Некоторые из наших результатов формулируются, однако, в терминах формул исчисления высказываний. Они также имеют общую применимость. [17]
В таком случае истинностный оператор может быть задан аналитически посредством системы формул исчисления высказываний. [18]
Формула исчисления предикатов, не содержащая вхождений индивидных переменных, называется формулой исчисления высказываний. Тождественно истинные, или, как мы иногда для краткости говорим, тождественные формулы исчисления высказываний, среди прочих формул характеризуются при помощи следующей процедуры вычисления их значений. [19]
Теперь мы можем ответить на вопрос, поставленный выше: может ли формула исчисления высказываний, не являющаяся выводимой в исчислении высказываний, быть выводимой в исчислении предикатов. Докажем, что такой формулы не может быть. Пусть Я - формула исчисления высказываний, - выводимая в исчислении предикатов; тогда соответствующая ей формула 51 выводима в исчислении высказываний. Но так как 51 -сама формула исчисления высказываний, то 51 совпадает с 51 н, значит, 51 выводима в исчислении высказываний, что и требовалось доказать. [20]
Определение формулы исчисления предикатов имеет тот же индуктивный характер, как и определение формулы исчисления высказываний. Оно может быть высказано следующим образом. [21]
Заметим, что операция Rf ( Г), представляющая собой подстановку в формулу исчисления высказываний 2Т другой формулы 33, которая также является формулой исчисления высказываний, всегда выполнима. [22]
Чтобы оправдать эту терминологию, заметим, что, согласно данному определению, всякая непосредственно тождественная формула исчисления высказываний является тождественно истинной, или, как мы иногда говорим, тождественной формулой. [23]
Правда, сказанное еще не дает нам явного определения, так как определяемое понятие номера формулы исчисления высказываний входит в определяющее выражение. Но при этом мы все-таки получаем некоторое рекурсивное определение. [24]
Формула исчисления предикатов, которая не содержит кванторов, может быть в известном смысле рассмотрена как формула исчисления высказываний и как формула алгебры высказываний. [25]
Если формула 91, рассмотренная как формула алгебры высказываний, является тождественно истинной, то как формула исчисления высказываний она выводима в исчислении высказываний. Но тогда эта формула, рассмотренная вновь как формула исчисления предикатов, выводима и в исчислении предикатов, так как она получается подстановками в выводимую формулу исчисления высказываний. [26]
Аналогично запись V АВ эквивалентна записи со скобками [ Л ] / Д - Итак, формулы исчисления высказываний в бесскобочной записи с принятым условием выражения отрицания записываются через элементарные высказывания при помощи двух бинарных двуместных операций Л и V и этих же операций с отрицаниями, что означает отрицание соответствующей формулы, которую определяет данная двуместная операция. [27]
Подобно тому как в начале § 2 строились формулы булевой алгебры, из введенных нами формальных объектов строятся формулы исчисления высказываний. Различие заключается в употреблении дополнительного символа Z) ( формального аналога булевой операции импликации), а также в замене точки в обозначении конъюнкции ( умножения) символом Див употреблении в качестве знака отрицания вместо черты над отрицаемым выражением символа i, ставящегося перед отрицаемым выражением. [28]
Доказательство этого осуществляется на основании того же соответствия, в силу которого мы каждой фор муле 21 исчисления предикатов отнесли формулу исчисления высказываний. Из рассуждений § 5 вытен кает, что каждая формула, которой соответствует выво димая формула исчисления высказываний, может быт присоединена без противоречия к аксиомам исчисления; предикатов. [29]
Приведенное описание отношения л с помощью подмножества V множества S остается безнадежно туманным, пока мы не интерпретируем S как множество формул исчисления высказываний. При такой интерпретации становится видно, что fi должно интерпретироваться как отношение eq, a V как множество общезначимых формул. В итоге описание отношения fi с помощью V сводится к следующему: две формулы s и t эквивалентны тогда и только тогда, когда эквиваленция s - W - общезначимая формула. Подозрение, что такая интерпретация множества S лежала в основе программы построения рассматриваемой формальной системы, вполне обосновано. [30]