Cтраница 2
Если при вычислении неопределенного интеграла с помощью замены переменной от новой переменной t следует возвращаться к старой переменной х, то при вычислении определенного интеграла этого делать не нужно, так как теперь следует найти число, которое согласно доказанной формуле равно значению каждого из рассматриваемых интегралов. [16]
Если при вычислении неопределенного интеграла с помощью замены переменной мы должны были от новой переменной / возвращаться к старой переменной х, то при вычислении Определенного интеграла этого можно не делать, так как цель - найти число, которое, в силу доказанной формулы, равно значению каждого из рассматриваемых интегралов. [17]
Отметим, что ( 6 8) дает асимптотическое разложение для х - - оо. Попутно из доказанных формул вытекает следующий любопытный результат. [18]
С этой целью разумно использовать ранее доказанные формулы или ввести более сложные предикаты, образующие новые аксиомы, которые можно рассматривать как результат обучения в процессе решения задачи. [19]
Обратим внимание на то, что при применении формулы (30.1) ( соответственно формулы (30.2)) ее, подобно случаю неопределенного интеграла, можно использовать как слева направо, так и справа налево. Однако в отличие от неопределенного интеграла, где мы в конце вычисления должны были возвращаться к первоначальной переменной интегрирования, здесь этого делать не нужно, так как наша цель найти число, которое в силу доказанных формул равно значению каждого из рассматриваемых интегралов. [20]
Мы переходим теперь к рассмотрению интегральных уравнений с бесконечным промежутком интегрирования. В этом случае могут оказаться несправедливыми основные теоремы Фредгольма, полученные нами выше. Наиболее простым случаем являются интегральные уравнения, связанные с формулой Фурье. Напомним [ II; 173J ранее доказанную формулу Фурье. [21]
Аксиома это правильная формула, которая полагается истинной по определению, например две точки могут лежать на одной и только на одной прямой. Из совокупности аксиом с помощью правил умозаключения, или законов формальной логики, могут быть выведены новые правильные истинные формулы. Кроме того, новые правильные ( истинные) формулы могут быть выведены из ранее полученных правильных формул. Доказательство есть последовательность правильных формул, в которой каждая формула ( или строка доказательства ] либо вытекает из предшествующих формул на основании некоторого правила умозаключения, либо сама есть аксиома или ранее доказанная формула. [22]
Используя определение производной, были доказаны правила дифференцирования и выведены формулы для вычисления производных основных элементарных функций. Однако в практических вычислениях оно не нужно. Для вычисления производной любой элементарной функции достаточно воспользоваться уже доказанными формулами. Для лучшего запоминания ниже приводится сводка всех основных формул. [23]
Так как меры щ и ц2 cr - конечны, то произведение пространств разложимо на счетную сумму прямоугольников со сторонами конечной меры. Следовательно, без ограничения общности мы можем предположить, что исходные меры конечны. Поэтому еМ содержит все измеримые прямоугольники, а следовательно, поле конечных сумм таких прямоугольников. Но по теореме о монотонной сходимости класс замкнут относительно предельного перехода в неубывающих последовательностях, а по теореме о сходимости мажорируемой пос ледов атечьности и в силу конечности мер Ж1 замкнут относительно предельного перехода в невозрастающих последовательностях. Следовательно, по 1.6 этот класс содержит произведение а-полей х 2, и равенство интегралов доказано. Конечная функция множеств ц, определенная таким образом на, является в силу теоремы о монотонной сходимости мерой. По теореме о продолжении мер доказанная формула однозначно определяет эту меру. [24]