Cтраница 3
С учетом сказанного, совместное устранение из какого-либо нормированного доказательства и критических формул, и формул е-равенства может быть сведено к ряду отдельных шагов, на каждом из которых устраняется одна из этих формул. При этом поскольку каждый из этих шагов либо оставляет заключительную формулу без изменений, либо дизъюнктивно расщепляет ее, последовательное выполнение всех этих шагов тоже приведет самое большее к дизъюнктивному расщеплению заключительной формулы. [31]
Временное правительство приняло постановление Об - упрощении формы официальных сношений и бумаг, которое заключалось лишь в отмене титулования и заключительной формулы деловых писем, выражающей личные чувства; точно так же, как в заседаниях строго соблюдался этикет служебной иерархии, в практике оформления официальных писем сохранился традиционный речевой ритуал. [32]
Над исходными формулами в фигуре разложения не стоят никакие другие формулы; над результирующей формулой любой схемы заключения стоят две формулы ( здесь имеет место ветвление вверх); над любой другой формулой стоит по одной формуле. Последовательность формул из данной фигуры разложения, начинающаяся какой-либо исходной формулой и такая, что за каждой формулой, не являющейся заключительной формулой вывода, следует формула, стоящая в этой фигуре непосредственно под ней, называется нитью доказательства. [33]
В таком случае прежнее i-правило становится производным. Для этого обобщенного правила также справедливо утверждение об устранимости i-символов из любых выводов, внелогические исходные формулы ( собственные аксиомы) которых, а также их заключительные формулы не содержат i-символов. [34]
С учетом сказанного, совместное устранение из какого-либо нормированного доказательства и критических формул, и формул е-равенства может быть сведено к ряду отдельных шагов, на каждом из которых устраняется одна из этих формул. При этом поскольку каждый из этих шагов либо оставляет заключительную формулу без изменений, либо дизъюнктивно расщепляет ее, последовательное выполнение всех этих шагов тоже приведет самое большее к дизъюнктивному расщеплению заключительной формулы. [35]
Рассмотрим теперь произвольный вывод, построенный в соответствии с нашими правилами и разложенный после этого на нити. Применим к нему операцию разделения переменных, а затем исключим излишние свободные переменные. Возьмем заключительную формулу этого вывода, и, двигаясь по нему в обратном направлении, проследим каждую его нить до того места, где она упирается в какую-либо исходную формулу или же в нижнюю формулу какой-либо схемы для квантора существования или схемы индукции. Ту часть фигуры вывода, которая при этом получается ( включая и формулы, до которых мы дошли в нашем движении), мы будем называть концевым фрагментом данного вывода, а остальную часть - его начальным фрагментом. Ввиду того, что излишние свободные переменные были нами исключены, в концевом фрагменте вывода свободных переменных не будет вообще. [36]
Команду () можно высказать так: заменить в обрабатываемом слове последовательность букв S на последовательность букв Т, если S входит в данное слово. Эти команды называются формулами подстановки. Некоторые формулы специальным образом отмечаются как заключительные. Если выполняется подстановка, заданная заключительной формулой, то алгоритм считается завершенным. Алгоритмы Маркова тем самым производят переработку исходной последовательности символов в результирующую. [37]
Подобно случаю устранения индукции, при устранении квантора существования тоже может быть введено соглашение, устанавливающее, какое из ветвлений должно устраняться в том случае, когда их имеется более одного. С каждым ветвлением связывается, как мы знаем, схема заключения, в которой сходятся две нити вывода - одна, ведущая от аксиомы, а другая от нижней формулы схемы вывода для квантора существования. Мы можем теперь условиться, что всякий раз будет производиться устранение того ветвления, у которого указанная нить, ведущая от нижней формулы схемы к заключительной формуле вывода, в рассматриваемом в данный момент концевом фрагменте расположена левее остальных. И если на одной и той же нити лежат несколько ветвлений, то мы будем брать то из них, у которого нижняя формула схемы отстоит от заключительной формулы вывода больше остальных. [38]
Во-первых, мы будем рассматривать выводы, в которых нет примыкающих к их концевым фрагментам применений схемы индукции и в которых уже произведено вычисление значений нумерических термов и разделение связанных переменных. Ввиду того, что связанные переменные нами разделены, это может иметь место только тогда, когда в данном выводе эти два вхождения данной экзистенциальной формулы связаны друг с другом. В этом случае должно иметь место некоторое ветвление ( в указанном ниже смысле слова): нить вывода, выходящая из этой аксиомы для квантора существования ( в направлении к заключительной формуле), и нить, ведущая от нижней формулы рассматриваемой схемы вывода для квантора существования к заключительной формуле, должны сходиться к посылкам некоторой схемы заключения. В верхних формулах этой схемы упомянутая экзистенциальная формула должна фигурировать в качестве молекулы, а в нижнюю формулу она может и не рходить. [39]
Во-первых, мы будем рассматривать выводы, в которых нет примыкающих к их концевым фрагментам применений схемы индукции и в которых уже произведено вычисление значений нумерических термов и разделение связанных переменных. Ввиду того, что связанные переменные нами разделены, это может иметь место только тогда, когда в данном выводе эти два вхождения данной экзистенциальной формулы связаны друг с другом. В этом случае должно иметь место некоторое ветвление ( в указанном ниже смысле слова): нить вывода, выходящая из этой аксиомы для квантора существования ( в направлении к заключительной формуле), и нить, ведущая от нижней формулы рассматриваемой схемы вывода для квантора существования к заключительной формуле, должны сходиться к посылкам некоторой схемы заключения. В верхних формулах этой схемы упомянутая экзистенциальная формула должна фигурировать в качестве молекулы, а в нижнюю формулу она может и не рходить. [40]
Подобно случаю устранения индукции, при устранении квантора существования тоже может быть введено соглашение, устанавливающее, какое из ветвлений должно устраняться в том случае, когда их имеется более одного. С каждым ветвлением связывается, как мы знаем, схема заключения, в которой сходятся две нити вывода - одна, ведущая от аксиомы, а другая от нижней формулы схемы вывода для квантора существования. Мы можем теперь условиться, что всякий раз будет производиться устранение того ветвления, у которого указанная нить, ведущая от нижней формулы схемы к заключительной формуле вывода, в рассматриваемом в данный момент концевом фрагменте расположена левее остальных. И если на одной и той же нити лежат несколько ветвлений, то мы будем брать то из них, у которого нижняя формула схемы отстоит от заключительной формулы вывода больше остальных. [41]