Cтраница 2
Будем говорить, что эта формула истинна по де Йоту, если для всякого набора замкнутых арифметических формул у... [16]
На них мы будем основывать определение реализуемости, которое интуиционистски интерпретирует логические операторы в применении к арифметическим формулам. [17]
Дальнейшее совершенствование автокодов выражалось в появлении дополнительных средств, устанавливающих по обычным правилам порядок действий в арифметических формулах или обеспечивающих в необходимых условиях разветвление вычислительного процесса, циклическое повторение участков программы и другие операции, вытекающие из условия задачи. Так постепенно автокоды утратили приставку 1: 1, а их входные языки стали не чисто машинными, а, машинно-ориентированными. Машинная ориентированность означает, что в основе этих языков продолжала лежать система команд какой-либо конкретной вычислительной машины. [18]
Дальнейшее совершенствование автокодов выражалось в появлении дополнительных средств, устанавливающих по обычным правилам порядок действий в арифметических формулах или обеспечивающих в необходимых условиях разветвление вычислительного процесса, циклическое повторение участков программы и другие операции, вытекающие из услов ия задачи. Так постепенно автокоды утратили приставку 1: 1, а их входные языки стали не чисто машинными, а машинно-ориентированными. Машинная ориентированность означает, что в основе этих языков продолжала лежать система команд какой-либо конкретной вычислительной машины. [19]
Дальнейшее совершенствование автокодов выражалось в появлении дополнительных средств, устанавливающих по обычным правилам порядок действий в арифметических формулах или обеспечивающих в необходимых условиях разветвление вычислительного процесса, циклическое повторение участков программы и другие операции, вытекающие из условия задачи. Так, постепенно автокоды утратили приставку 1 j 1, а их входные языки стали не чисто машинными, а машинно-ориентированными. Машинная ориентированность означает, что в основе этих языков продолжала лежать система команд какой-либо конкретной вычислительной машины. [20]
В качестве первого и второго адресов команды блок А берет условные числа оперируемых величин, стоящие в закодированной арифметической формуле, которую он обрабатывает, в качестве третьего адреса - записывает очередное условное число рабочей ячейки. В качестве кода операции используется условное число знака действия. Условными числами оперируемых величин для блока А являются условные числа величин, констант, рабочих ячеек и номеров операторов. [21]
В зарубежной экономической литературе считается, что первый индекс цен был построен итальянским экономистом Джаном Ринальдо Карли в 1751 г. Этот индекс был построен по средней арифметической формуле без применения системы взвешивания. [22]
Логические операторы, определяемые логическим условием Р ( а) [ - 0 или его отрицанием Р ( а) (), Где ( а) задается арифметической формулой, будем называть простыми логическими операторами. [23]
Таким образом, при расчете контактных экономайзеров, использующих влажные дымовые газы сушильных установок, вполне возможно определять среднюю разность температур не только по логарифмической, но иногда даже и по арифметической формуле. [24]
Пример, показывающий, что теорема 59 неверна для арифметической системы при сохранении правила 9, мы сможем привести только в следующем параграфе ( теорема 63 ( iii)), потому что сейчас у нас еще нет метода, позволяющего установить, что некоторая арифметическая формула классически доказуема, но интуиционистски недоказуема. [25]
Предположим, что система М устроена так, что в нее входят все арифметические символы, которые подчиняются тем же правилам, что и в арифметике; так, например, цепочка 2 2 4 имеет две интерпретации: а) как цепочка в М, лишенная всякого значения; б) как арифметическая формула. [26]
Интересно заметить, что, как и в случае генценовского доказательства непротиворечивости с помощью трансфинитной индукции до е0, анализ рассматриваемого нами доказательства непротиворечивости показывает, что оно в единственном его неэлементарном шаге зависит от использования предиката, определяемого посредством индукции, в индукционный шаг которой входят кванторы обоих родов, а именно, речь идет здесь о предикате истинности для арифметических формул. Мы сейчас определим этот предикат. [27]
В формуле ABA незримо присутствует операция между любыми двумя стоящими рядом переменными. В арифметических формулах переменные означают числа, а записанные рядом - произведение. [28]
Это определение и проблема непротиворечивости приобретают значение вне метаматематики, при интерпретации формальной системы как формализации содержательной теории, в которой символ - i выражает отрицание. Предложения, выраженные двумя арифметическими формулами А и - iA, если А не содержит свободных переменных ( а если А содержит свободные переменные, то предложения, которые получаются при каждом конкретном выборе значений переменных), взятые вместе, образуют противоречие. То же самое справедливо для случая пропозициональных формул, если пропозициональные буквы интерпретируются любыми конкретными предложениями. Таким образом, метаматематическое доказательство непротиворечивости формальной системы дает гарантию против возникновения противоречия в соответствующей содержательной теории. [29]
Сейчас мы докажем, что функции, вычислимые программами с конечным числом переменных, арифметич-ны, то есть их графики являются арифметическими множествами. В этом разделе мы вновь предполагаем некоторое знакомство читателя с логическими обозначениями, и будем рассматривать арифметические формулы, содержащие переменные по натуральным числам, равенство, константы 0 и 1, операции сложения и умножения, логические связки ( И, ИЛИ, НЕ) и кванторы для всех и существует. Говоря об истинности таких формул, мы имеем в виду их истинность в стандартной интерпретации, носителем которой является множество N натуральных чисел. [30]