Cтраница 1
Продольные волокна бруса ( волокно - элемент, расположенный параллельно оси бруса), как показывают наблюдения, испытывают осевую деформацию сжатия или растяжения и искривляются. Продольные волокна по нейтральному слою не удлиняются, искривляясь. Принимаем следующую основную гипотезу чистого изгиба: считаем, что плоские поперечные сечения балки при изгибе остаются плоскими и после изгиба, поворачиваясь и смещаясь. Эта гипотеза носит название гипотезы плоских сечений. Прямоугольный элемент балки в продольном ее разрезе, ограниченный двумя соседними сечениями, обращается в трапецоидальный; граничные крайние волокна также искривляются. Отметим, что поперечные сечения балки / - / и II-II и после изгиба остаются нормальными к искривленной оси и, следовательно, в своем пересечении они дают центр кривизны искривленной оси в данной точке. [1]
Под действием нагрузки все продольные волокна бруса удлинятся. Мысленно рассечем брус по какому-либо поперечному сечению и рассмотрим правую отсеченную часть. Вследствие взаимодействия частей бруса в левом сечении этой части действует внутренняя сила N. Эта сила, согласно условию равновесия, численно равна внешней нагрузке Р и обратна ей по направлению. [2]
В теории изгиба предполагается, что продольные волокна бруса не давят друг на друга. [3]
Из формулы (7.12) следует, что нормальные напряжения в продольных волокнах бруса прямо пропорциональны их расстояниям у от нейтрального слоя. [4]
Из формулы (12.7) следует, что нормальные напряжения в продольных волокнах бруса прямо пропорциональны их расстояниям у от нейтрального слоя. [5]
Гипотезой плоских сечений устанавливается линейный закон изменения абсолютных удлинений Д / продольных волокон бруса. [6]
Под действием моментов ( или пар сил), действующих в плоскостях, перпендикулярных оси бруса, навстречу друг другу продольные волокна бруса деформируются ( искривляются) по винтовой линии. [7]
Предполагается, что: 1) сечения плоские и нормальные к оси бруса до деформации остаются плоскими и нормальными к оси бруса и после деформации; 2) продольные волокна бруса, изгибаясь, не оказывают давления друг на друга. [8]
При этом учтено свойство парности касательных напряжений и то, что в продольных сечениях бруса / / и / / / нормальные напряжения отсутствуют, так как предполагается, что продольные волокна бруса друг на друга не давят. [9]
Случай изгиба, когда внутренние силы в поперечных сечениях балки приводятся лишь к изгибающему моменту, называется чистым изгибом. В этом случае справедлива гипотеза плоских сечений и предполагается, что между продольными волокнами бруса давления отсутствуют. [10]
Выше установлено, что при чистом изгибе в поперечных сечениях возникают только нормальные напряжения. Для выяснения закона их распределения по поперечному сечению балки и вывода формулы, определяющей напряжение в произвольной точке поперечного сечения, введем следующие допущения: 1) перпендикулярное оси недеформированного бруса плоское сечение остается и после изгиба плоским и нормальным к изогнутой оси бруса ( гипотеза плоских сечений); 2) продольные волокна бруса при его деформации не надавливают друг на друга. [11]
Поскольку на боковую поверхность бруса при центральном растяжении сжатии не действуют никакие нагрузки, в том числе и давление, то из однородности деформаций по сечению следует, что на всей боковой поверхности граничного волокна не действуют никакие нагрузки. Переходя от граничного волокна к соседнему внутреннему, точно так же заключаем, что и его боковые поверхности свободны от нагрузок. А это значит, что при центральном растяжении сжатии продольные волокна бруса между собой не взаимодействуют. Тогда можно считать, что все продольные волокна бруса находятся в таких условиях, в каких находится образец при его испытании на растяжение-сжатие. Иными словами, предположение об однородности деформации по сечению позволяет перенести результаты испытаний образцов на брусья произвольного поперечного сечения и произвольных размеров. [12]
Выделим из бруса, находящегося в состоянии центрального растяжения или сжатия, элементарный кубик так, чтобы две его грани совпадали с поперечными сечениями. В этих гранях действует напряжение ох. В четырех остальных гранях, которые являются продольными сечениями бруса, в силу гипотезы о ненадавливаемости продольных волокон бруса нормальные напряжения не возникают. [13]
Поскольку на боковую поверхность бруса при центральном растяжении сжатии не действуют никакие нагрузки, в том числе и давление, то из однородности деформаций по сечению следует, что на всей боковой поверхности граничного волокна не действуют никакие нагрузки. Переходя от граничного волокна к соседнему внутреннему, точно так же заключаем, что и его боковые поверхности свободны от нагрузок. А это значит, что при центральном растяжении сжатии продольные волокна бруса между собой не взаимодействуют. Тогда можно считать, что все продольные волокна бруса находятся в таких условиях, в каких находится образец при его испытании на растяжение-сжатие. Иными словами, предположение об однородности деформации по сечению позволяет перенести результаты испытаний образцов на брусья произвольного поперечного сечения и произвольных размеров. [14]
Навье и Бресс, имея дело с такого рода брусом, вычисляли его прогибы и напряжения по формулам, выведенным для призматического бруса. Подобный подход к решению задачи законен лишь в том случае, если размеры поперечного сечения бруса малы в сравнении с радиусом кривизны его оси. В ходе построения более точной теории Винклер удерживает гипотезу плоских поперечных сечений при изгибе, но учитывает то обстоятельство, что вследствие начальной кривизны продольные волокна бруса между двумя смежными поперечными сечениями имеют неравные длины, и потому напряжения в них уже не пропорциональны их расстояниям от нейтральной оси, а нейтральная ось не проходит через центры тяжести поперечных сечений. [15]